运筹学课件 5-3图论.ppt

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1、5-4最小费用最大流问题一、基本概念1、什么是最小费用最大流问题？对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中，求取最大流X，使输送流量的总费用C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj）上通过单位流量所花费的费用。2、最小费用流对一费用容量网络，具有相同流量f的可行流中，总费用最小的可行流称为该费用容量网络关于流量f的最小费用流，简称流量为f的最小费用流。3、增广链的费用当沿着一条关于可行

2、流X的增广链（流量修正路线）μ，以修正量ε=1进行调整，得到新的可行流，则称C（）-C（X）为增广链μ的费用。②增广链μ的费用就是以单位调整量调整可行流时所付出的费用；③当修正量ε=1时，此时，①的流量f()=f(X)+1；C()-C(X)=二、求解最小费用最大流问题的对偶法1、求解途径：（1）始终保持网络中的可行流是最小费用流，然后不断调整，使流量逐步增大，最终成为最小费用的最大流；（2）始终保持可行流是最大流，通过不断调整使费用逐步减小，最终成为最大流量的最小费用流。2、算法原理（1）定理若X是流量为f(X)的最小费用流，μ

3、是关于X的所有增广链中费用最小的增广链，那麽沿着μ去调整X得到的新的可行流就是流量为f()的最小费用流。（2）实现思路基于第一种求解途径，根据上述定理，只要找到最小费用增广链，在该链上调整流量，得到增加流量后的最小费用流。循环往复直至求出最小费用最大流。实施中的关键构造增广费用网络图（即扩展费用网络图），借助最短路算法寻找最小费用增广链。增广费用网络图的构造方法将网络中的每一条弧（vi,vj）都变成一对方向相反的弧，以形成四通八达的“路”，权数定义如下：零流弧上Wij=cij原有弧（流量可以增加）∞后加弧（流量不能再减少）饱和弧

4、上wij=∞原有弧（流量不能再增加）-cij后加弧（流量可以减少）非饱和且非零流(0

5、数为单位费用的负数：于是，在容量网络中寻找最小费用增广链就相当于在增广费用网络图（扩展费用网络图）中寻找从发点到收点的最短路。注意将找到的最短路还原到原网络图中（虚线弧改成原图中的反向弧）。3、步骤：第一步---用Ford-Fukerson算法求出该容量网络的最大流量fmax；（本步骤的作用是什麽？）第二步---取初始可行流为零流，其必为流量为0的最小费用流（为什麽？）第三步---一般为第k-1次迭代，得一最小费用流X(k-1)，对当前可行流构造增广费用网络图W(X(k-1))，用最短路算法求出从发点到收点的最短路。若不存在最短

6、路，则X(k-1)即最小费用最大流，停止迭代；否则，转下一步。第四步---将最短路还原成原网络图中的最小费用增广链μ，在μ上对可行流X(k-1)进行调整，得到新的可行流图，若其流量等于fmax,迭代结束。否则转入第一步，进入下一次迭代过程。4、举例增广费用网络图(容量费用图(bij,cij))可行流图(流量网络(bij,cij,xij))vsvtv2v3v1(10,7)(7,7)(8,4)(10,4)(4,4)(5,0)(2,0)最大流图fmax=11(未标费用)第0次迭代vsvtv2v3v1(10,4)(7,1)(8,1)(1

7、0,3)(4,2)(5,2)(2,6)(5,2,5)(7,1,5)vsvtv2v3v1(10,4,0)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,0)第1次迭代①原图全部是零流弧,保持原边不变,单位费用为权；②所有的权均大于零，可用D氏标号法求出最短路：恰也是最小费用增广链。①流量调整量ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5总流量f1=5②最小费用增广链的费用∑cij=1+2+1=4③总费用C1=4×5=20第2次迭代(3,1)v1vt(5,-2)(2,6)v2v3(10,4)(5,-1)(10,3)(4,2)（2

8、,1）vs（5，-1）(7,1,7)vsvtv2v3v1(10,4,2)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,0)(5,2,5)①零流弧保持原边,非饱和非零流弧(vs,v2)和(v1,vt)增添后加弧,饱和弧(v2,v1)去掉原弧增添后加弧；②求