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1、习题1以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：π3（1）简立方，;（2）体心立方,π;6822（3）面心立方，π;（4）六角密积，π;663（5）金刚石结构，π;16[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体43nπr3积，则致密度ρ=V（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为
2、33a=4r,V=a,面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以4a3π()π32ρ==3a6（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角3线的长度为3a=4r,V=a,晶胞内包含2个原子，所以43a32*π()334ρ==π3a8图1.3体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为32a=4r,V=a，1
3、个晶胞内包含4个原子，所以42a34*π()2πρ=34.=3a6图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图1.5六角晶胞图1.6正四面体晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高ch=22a=2r=3322�32晶胞体积V=casin60=ca,2一个晶胞内包含
4、两个原子，所以4πa32*()232ρ==π.326ca2（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为3a=8r,3晶胞体积V=a,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以4338*π(a)33π8ρ==.3a16−−2在立方晶胞中，画出（102），（021），（122），和（210）晶面。[解答]图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。3如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hk
5、ml）表示，它们代表aaac123一个晶面在基矢的截距分别为,,,在C轴上的截距为hkml,证明：h+k=−m求出OA1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5和A1A3A5四个面的面指数。图1.9六角晶胞对称画法[解答]设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm）中最靠近原点的晶面在aaa,c轴上的截距分别为123a/h,a/k,a/m,c/l所以有123a·n=hd,1a2·n=kd,a·n=md.3因为a=−(a+a),323所以a·n=−(a+a)·n。323
6、由上式得到md=−(hd+kd).即m=−(h+k),−由图可得到：O'AA晶面的面指数为(1121)13−AABB面的面指数为(1120)1331−ABBA晶面的面指数为(1100)2255AAA晶面的面指数为(0001)1354设某一晶面族的面间距为d,三个基矢a,a,a的末端分别落在离原点的距123离为hd,hd,hd的晶面上，试用反证法证明：h,h,h是互质的。123123[解答]设该晶面族的单位法量为a,a,a由已知条件可得123a1·n=h1d,a2·n=h2d,a3·n=h3d,假定h
7、,h,h不是互质数，且公约数p≠1即123h=pk,h=pk,h=pk112233k,k,k是互质的整数，则有123a·n=pkd,a·n=pkd,a·n=pkd112233今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为r=la+la+la,112233由于心定是整数，而且r·n=d=l1a1·n+l2a2·n+l3a3·n于是得到pkl+pkl+pkl=1112233由上式可得1kl+kl+kl=112233p上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是p为不等于1的整数的假定。
8、也就是说，p只能等于1，即h,h,h一定是互质数。1235．证明在立方晶体中，晶列[hkl]与晶面（hkl）正交，并求晶面(hkl)与111晶面(h2k2l2)的夹角。[解答]设d是为晶面族（hkl）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl）将a,b,c分别截为h,k,l等份，即a•n=acos(a,n)=hd,b•n=bcos(b,n)=kd,c•n=ccos(c,n)=ld于是有dddn=hi+kj+lkaaad=(hi+kj+lk)a其中,i
