线性代数(专升本)2015年春季考试.pdf

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1、线性代数(专升本)2015年春季考试总分：100分得分：0分[2015年春季]一、问答题姓名1.论行列式及其运算（1）行列式是在什么情况下引入的记号？为什么要引进行列式？（2）如何计算行列式是线性代数中的一个基本问题，常用的计算方法有:化三角形法、递推法、学号降阶法、拆项法等等.请问什么是降阶法？（3）一个阶行列式按定义计算是很困难的，通常先利用性质去简化行列式，再用相应方法解行列式.请问行列式有哪几条常用的性质(至少说出三条)？(20分)学习中心参考答案：解答要点:（1）行列式是在解线性方程组时引进的一种记号，有了行列式的定义，克莱姆法则可以表示的更简单.专业（2）降阶法即是行列式按行

2、按列展开的方法，一个阶的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即化为个阶的行列式之和，年级考试时间或；（3）第1条:行列式与它的转置行列式相等；第2条:互换行列式的两行(列)，行列式变号；第3条:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；第4条:行列式的某一行(列)乘以数，再加互另一行（列）上，行列式的值不变；…….解题思路：2.求解线性方程组是线性代数课程中要解决的最大问题.请问利用克莱姆法则求解线性方程组，对系数矩阵有条件限制吗？(10分)参考答案：利用克莱姆法则求解线性方程组，对系数矩阵有条件的限制，首先系数矩阵必须是方阵，其次要

3、求系数矩阵的行列式不等于零。解题思路：3.论矩阵及其运算（1）矩阵与行列式一样，是在解线性方程组时引入的一种记号，那么它们最大的区别是什么？(2)一个阶方阵可逆的定义是什么？通常有哪几种方法求矩阵的逆矩阵？(3)设阶方阵有个特征值，则与矩阵是否可逆有怎样的关系？(20分)参考答案：解答要点（1）最大的区别在于：行列式是一个数，外表是方形的，矩阵是一个数表，外表是矩形的.(2)矩阵可逆的定义是:对方阵，若存在方阵，使（单位矩阵）则称矩阵可逆，且；具体可用行列式判别，如果，则不可逆，如果，则可逆；(3)由特征值的性质可知，特征值的乘积等于矩阵行列式的值，所以当特征值全不为零时，乘积不等于零，

4、从而矩阵行列式不等于零，可逆.解题思路：4.对于维向量组，线性相关的定义是什么？有哪些判别相关不相关的方法？（举出两种方法即可）(15分)参考答案：对于维向量组，其线性相关的定义是：存在个不全为零的常数，使线性组合成立；其判别的方法有很多，可用矩阵的秩判别，当时还可以用行列式判别；第1/2页解题思路：5.有关向量组的极大线性无关组是如何定义的？它有什么意义？(15分)参考答案：极大线性无关组的定义是：若向量组中存在着个向量线性无关，而任意个向量均线性相关，则任意个线性无关的向量组成向量组的极大线性无关组，向量组中任一个向量均可由这个极大线性无关组线性表示；解题思路：6.论特征值与特征向量

5、(1)设为阶方阵，是的特征值，是的关于的特征向量，则、、必须满足什么条件？应如何求得？(2)阶方阵必有个特征值:，则这个特征值满足哪两条性质？(20分)参考答案：解答要点(1)特征值与特征值向量必须满足关系式；并且是通过解特征多项式求出所有的特征值，通过解线性方程组求出所有的特征向量；(2)阶方阵必有个特征值，这个特征值必须满足两条性质:（1）；（2）。解题思路：第2/2页