[理学]积分变换第8讲.ppt

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1、工程数学第8讲1拉氏变换的应用2对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式.所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统.这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位.本节将应用拉氏变换来解线性微分方程和建立线性系统的传递函数的概念.3微分方程的拉氏变换解法象原函数(微分方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.4例

2、1求方程y''+2y'-3y=e-t满足初始条件的解.设L[y(t)]=Y(s).对方程的两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得5由解出Y(s)6即Y(s)有三个单极点为-1,1,-3B'(s)=3s2+6s-1,因此7例2求解方程组的解.满足初始条件8对两个方程取拉氏变换,设L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s),并考虑到初始条件,得整理得9解此线性方程组10111213最后得14例3质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端,外力为f(t),物体自平衡位置x=0处开始运动,求运动规律x(t)根据牛顿定律有mxxx=0kxf(t)mx''=f(t)-kx其中

3、kx由虎克定律所得.初始条件为x(0)=x'(0)=015物体运动的微分方程为mx''+kx=f(t)且x(0)=x'(0)=0.对方程两边取拉氏变换,设L[x(t)]=X(s)],L[f(t)]=F(s),并考虑到初始条件,则得ms2X(s)+kX(s)=F(s)16如f(t)具体给出时,可以直接从解的象函数X(s)的关系式中解出x(t)来.17当物体在t=0时受到冲击力为f(t)=Ad(t),其中A为常数.此时,L[f(t)]=L[Ad(t)]=A18如物体所受作用力为f(t)=Asinwt时19例4如图所示电路,求开关闭合后,回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(

4、t),注意uC(0)=0.i(t)e(t)KRC20微分方程为21222324例5如图所示的RLC电路中串接直流电源E,求回路中电流i(t)Ei(t)KRCL根据基尔霍夫定律,有25代入上式得如下微分方程设L[i(t)]=I(s),对微分方程两边取拉氏变换,262728线性系统的传递函数29线性系统的激励和响应一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述.例如例4中的RC串联电路,电容器两端的电压uC(t)所满足的关系式为这是一个一阶常系数线性微分方程.通常将外加电动势e(t)看成是这个系统的输入函数,称为激励,而将uC看成是这个系统的输出函数,称为响应.30这样的RC

5、电路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统,如下图所示.RCe(t)uC(t)虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量的连接方式.这样一个线性系统,在电路理论中又称为线性网络(简称网络).一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定.31对于不同的线性系统,即使在同一激励下,其响应是不同的.系统特性激励响应在分析线性系统时,我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系,可绘出如下图所示的框图,为了描述这种联系需要引进传递函数的概念.32传递函数的概念假设有一个线性系统,在一般情况下,它的激励x(t)与响应y(t)可用下列微

6、分方程表示:any(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y=bmx(m)+bm-1x(m-1)+...+b1x'+b0x(2.22)其中a0,a1,...,an,b0,b1,...,bm均为常数,m,n为正整数,nm.设L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s),则L[aky(k)]=akskY(s)-ak[sk-1y(0)+...+y(k-1)(0)](k=0,1,...,n)L[bkx(k)]=bkskX(s)-bk[sk-1x(0)+...+x(k-1)(0)](k=0,1,...,m)33推导34对(2.22)式两边取拉氏变换并通过整理,可

7、得其中D(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0M(s)=bmsm+bm-1sm-1+...+b1s+b0Mhy(s)=any(0)sn-1+[any'(0)+an-1y(0)]sn-2+...+[any(n-1)(0)+...+a2y'(0)+a1y(0)]Mhx(s)=bmx(0)sm-1+[bmx'(0)+bm-1x(0)]sm-2+...+[bmx(m-1)(0)+...+b2x'(0)+b1x(0)].D(s)Y(s)-Mhy(s)=M(s)X(s)-Mhx(s)35称G(s)为系统的传递函数.如