函数极限(limit of function).ppt

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1、函数极限(LimitsofFunctions)极限的概念极限定义(Definitionofalimit)ThenumberListhelimitofthefunctionf(x)asxapproachesc(orapproachesinfinity)if,asthevaluesofxgetsarbitrarily(butnotequal)toc(orapproachesinfinity),valuesoff(x)approach(orequal)L.Wewrite极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时

2、，函数值趋近于某个定值。设函数y=f(x)在点附近有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为极限，记作或f(x)→A(x→)（描述性定义）1.x→x0时函数的极限xf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999……x→2（fromtheleft）Thisiscalledtheleft-handlimitandiswritten:Thisiscalledtheright-handlimitandiswritten:4.94.994.9994.9999……5.15

3、.015.0015.0001……2.12.012.0012.0001……x→2（fromtheright）f(x)→5f(x)→5极限存在定理设函数y=f(x)在点左(或右)侧有定义（在点可以无定义），若当x无限接近于时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于时，f(x)以A为左（或右）极限，记作左极限与有极限统称为单侧极限（one-sidedlimit）.左右极限又可分别记为2.x→∞时函数的极限★Considerthelimitofthefunction极限的运算法则（Rulesoflimits）Then前提很重要Eval

4、uatethefollowinglimits对于一切初等函数，当在该函数的定义域内，求的极限值时，只需把代入即可。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以x的最高次数项，然后再化简。exerciseHomework两个重要极限(Twoimportantlimits)?如何证明?解这个结果可以作为公式使用例1求例2注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：练习1.求下列极限:例3解例4解思考题夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem)例用夹

5、逼准则求练习3：下列等式正确的是（）．练习4：下列等式不正确的是（）练习5.两个重要极限(Twoimportantlimits)?解因为所以，有例1例2解方法一令u=-x，因为x0时u0，所以方法二掌握熟练后可不设新变量例3解练习解极限的应用1：找渐近线Applicationoflimits：FindingasymptotesAliney=cisahorizontalasymptoteofgraphofy=f(x),ifAlinex=kisaverticalasymptoteofgraphofy=f(x),if极限的应用2：连续A

6、pplicationoflimits：Continuity连续的定义（Definitionofcontinuity）直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线.（图像一笔画）函数在某点连续(Continuousatapoint)设函数在附近有定义，若，则称在点连续.若函数f在区间I上的每一个点都连续，则称f为I上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数.有理函数在处不连续.非连续性分类（Kindsofdiscontinui

7、ty）间断点：若f在点x0无定义，或f在x0有定义而不连续，则称x0为函数f的间断点或不连续点.1.可去间断点(Removablediscontinuity)若f在无定义，或有定义但2.跳跃间断点（Jumpdiscontinuity）若函数f在点的左右极限都存在，但，则称点为函数的跳跃间断点.3.无穷间断点（Infiitediscontinuity）至少有一侧极限不存在.(A)iscontinuouseverywhere(B)iscontinuousexceptx=0(C)hasaremovablediscontinuityatx=0

8、(D)hasainfinitediscontinuityatx=0(E)hasx=0asaverticalasymptote连续函数定理(Theoremsofcontinuousfunction)1.最值定理（Extre