分层介质中弹性波的传播.ppt

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1、第四章分层介质中弹性波的传播在地震勘探中我们所研究的地球介质，按其物性变化是分层的，具有层状结构。因此，讨论在两种弹性性质不同的介质分界面上波的现象，是十分重要的。地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划分为两个半空间。地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，称为自由表面，其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相联系的波的现象．

2、§4－1平面波在自由表面上的反射一、解题坐标及位函数的选择研究一个平面波入射到自由表面时的反射问题。如图4－1，取直角坐标系x、y、z，z＝0为弹性半无限空间的自由表面，z轴垂直向下，指向介质内部。有一平面波入射到自由表面。设波的射线与y轴垂直。这样波函数将与y轴无关。包含入射波和反射波射线及界面法线的射线平面与xoz平面重合。我们知道，位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部分。考虑到波函数与y轴无关，质点位移分量用位函数表示，式（2－5）可以写作(x,y,z三个方向的位移)：(4-1)(2-5)其

3、中位移分量可以分为两组，一是由位移位和表示的、分量，代表着在xoz平面上质点的振动；另一组是由位移向量位分量和表示的位移分量，代表着质点在yoz平面上的振动。用表示，代表在xoz平面传播的纵波，而代表在xoz平面传播的横波，它所引起的质点振动发生在垂直平面xoz内。所以称为SV横波。位移分量是在xoz平面内传播的横波所引起的在y轴方向上的振动，这种横波称为SH横波。SV和SH两类横波，以其所引起的质点振动方向相区别，称为极化波。通常,在动力学中分别讨论纵波P和横波SV，以及SH横波。对P和SV波，

4、，；对SH波，，对前一组波使用标量位函数和，对后一组波另外引用一个标量位，定义如下：用来表示位移向量位分量，的一个标量函数，可以证明，它将满足横波波动方程：(4-2)其中，β为横波传播速度。(4-3)二、P波和SV波在自由表面上的反射P和SV波的传播，将引起介质质点在xoz平面的振动。取位移位和作为P波和SV波波函数，它们将满足波动方程：其中、分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离变量法寻求这两个方程的一般解，形式如下：其中c是波沿x方向的视速度，。(4-4)(4-5)将(4-5)代入式(4-4)

5、中的相应方程，可以得到以z为变量的常微分方程：它们的解是:(4-6)(4-7)(4-8)将上式代入式(4-5)．将得到和的一般解，其中第一项是沿x的正方向,z负方向传播的简谐波。第二项是沿x正方向,z正方向传播的简谐波。这个简谐波函数可化为其它常见形式。(4-9)(4-10)分析一下波函数的复合变量。如图4－2所见，为入射线。e为出射角，取为波沿x方向的视速度，KA为波前面，则为波沿射线的传播速度。在三角形OAK中将延长。与OZ相交于B，为波沿z方向的视速度，(4-11)(4-12)因此，可有：其

6、中为波数；,为波的入射方向的方向余弦。上式也可以写成：以式(4-13)或式(4-14)为复合变量的波函数，如图4-2所见，显然表示的是沿x正方向、z负方向传播的入射波。(4-13)(4-14)当到自由表面有一个P波和SV波入射时，将产生一个P波和SV波反射波。如图4－3所示。图中e、f表示P波和SV波到自由表面的出射角，它们的余角id和is，称为波的入射角.由于入射波和反射波沿分界面ox的视速度相等，即有一个波入射到分界面，就立刻产生反射波，与分界面相联系的各个波的波函数表达式，取其简谐形式解为：

7、（1）入射P波（2）入射SV波（3）反射P波（4）反射SV波其中C为各个波沿方向的视速度。(4-15)(4-16)(4-17)(4-18)对半空间而言，两个位移位和分别为:其中，.因为其中、对各类波是共同参数。通解中包含的未定系数,,,,是各个简谐波的振幅,可根据自由表面上的边界条件来确定。(4-19)(4-20)在自由表面上，从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作用力等于零，因而在z＝0的边界上，正应力和切应力应等于零。我们有边界条件：根据关系式(4-1)以及(1-36)，(1-41)，用位移位和

8、表示边界条件(4-21)，(4-22)，经演算可以得到：（1）（4-21）（2）（4-22）（4-23）（4-24）讨论P波入射的情况，(画图形)，将，代入边界条件(4-23)、式(4-24)，整理后得到：使用入射角参数id，is整理上式，可以得到其中求解振幅比，他们称为反射系数（4-25）（4-26）因此，求解方程组(4-26)可以得到：（4-27）（4-28）根据视速度相等,画图说明id和is的关系与自由表明反射系数有关的几个问题1．作为位移振幅比的反射系数我们已经导出了反射波