单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动.pdf

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1、10-5单自由度结构在简谐荷载作1用下的强迫振动结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动。m"y"+cy"+ky=P(t)P(t)=Psinθt0无阻尼的强迫振动2k2P0sinθtω="y"+ωy=mm微分方程的解y(t)=y(t)+y(t)2cp设特解为ytAt()=sinθpy"(t)=Aθcosθtp2"y"(t)=−AθsinθtpPsinθt""20代入y+ωy=mPsinθt220−Aθsinθt+ωAsinθt=mP整理后得A=0()22mω−θ微分方程的特解3将A代入yp(t)=Asi

2、nθtP10因此特解为yp(t)=22sinθtmωθ(1−)2ωP01令yst=2ω2=mδ11mωyst=P0=P0δ11mδ11mδ11——为单位力所产生的质点处的位移；y=Pδ——为最大静位移，st011即把荷载幅值P当0作静荷载时结构所y=Pδ产生的质点处的位移。st011微分方程的特解及通解4积分常数A1和A2应按初始条件求出。设在1t=0时y(t)=ysinθtpst2初位移和初速度均为零，则得θ1−2ωθA=0,A=yω1=2st+2故通解为y(t)yc(t)yθP(t)1−2ω1⎛

3、θ1⎞yy==A1ycosstωtμ+A22sin⎜sinωtθ+ty−stsin2sinωtθ⎟tθ⎝ωθ⎠1−21−2ωω⎛θ⎞=yst⋅μ⎜sinθt−sinωt⎟⎝ω⎠式中各项的意义：5⎛θ⎞y=yst⋅μ⎜sinθt−sinωt⎟⎝ω⎠yst——静位移，亦即将荷载幅P0值静止地作用在体系上所产生的质点处质点处的位移；1μ=2——表示简谐荷载下，动力位移动力位移的放大系数；θ1−2ωsinθt——按动荷载频率θ振动的响应分量。直接与荷载有关的稳态响应；θsinωt——按自振频率振动的响应分量

4、。由初始ω条件引起的自由振动效应。稳态响应6⎛⎞θyy=⋅μθ⎜⎟sintt−sinωst⎝⎠ω在实际情况里，阻尼将使最后一项最终转变为零，故只需讨论稳态响应，即yy=μsinθt=Asinθtst()1[y(t)]Amaxμ===yyt

5、==⋅=μAyA=μyθ2yy动maxmaxstststst1−2ω最大动力位移等于位移动力系数乘以静力位移.θ动力系数与频率比关系μ7ωθ以μ为横坐标，为纵坐标作图：ω1μ==2θ1−2ωθ在简谐荷载作用下振幅随变化的情况：8ωθ(1)当→0时，动力系数μ→1。

6、ωθ＜＜ωy动max=μyst→yst这时简谐荷载的数值虽然随时间变化，但变化得非常慢（与结构的自振周期相比），因而可当作静荷载处理。θ(2)当时0<<1，ω动力系数μ>1θμ随的增大而增大。ωθ(3)当时→1，μ→∞9ωy=μy=∞θ≈ω动maxst即当荷载频率θ接近于结构自振频率ω时，振幅会无限增大。这种现象称为“共振”。θθ(4)当>1时，μ的绝对值随的增大而减小，ωωθ→∞μ→0ωθ＞＞ωy动max=μyst→0对结构进行动力分析目的10确定结构在动力荷载作用下的内力、位移等量值随时间而变化

7、的规律；从而找出其最大值以作为设计或检算的依据。y(t)ymax=AMmaxSmax结构动力学与结构静力学的最主要的区别：考虑结构因振动而产生的惯性力和阻尼力。y(t)I(t)=−m"y"(t)02I=I=mAθmaxMmaxSmax当动荷载与惯性力作用位置、作用线相同11各截面的内力和位移都与质量处位移y成正比，所以质量处位移的动力系数也就是各截面位移和内力的动力系数。P=Pmax0Py=μy（动）maxstPystPM=μM=μM（动）maxstPP=Pmax0PS=μS=μS（动）maxstP

8、Pl0MP4动力系数例12图示下列体系作动力计算时，内力和位移动力系数相同的体系为：Ptsin()θPtsin()θA.B.mmPtsin()θPtsin()θC.D.mmm122m1()B例13图示简支钢梁，跨度为4m，采用32a的工字钢，惯性4矩I=11075.5cm,弹性模量E=2.1×104kN/cm2。在跨度中点安置上电动机，重量W为50kN，转速n=500转/分。由于偏心，电动机在转动时产生了离心力，其幅值为P0=2kN；离心力的竖直分力为P0sinθt。若略去梁的自重，并不计阻尼的影响

9、。试求振动时梁的最大内力和挠度。确定自振频率及动力系数143^单位力作用在跨中时，中点的位移δ=48EI干扰力频率(由频率的定义，每秒钟振动次数)2π×500rθ2=(min)2=2741.51260rss48×2.1×104kN×11075.5cm4×980cm122ω2==cms=3419.11332mδ50kN×400cms11μ===5.05动力系数为θ22741.511−2sω21−3419.112s梁中点的最大弯矩、最大挠度15故知由此干扰力影响所产生的内