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1、非线性分析第三次作业学院（系）：电子信息与电气工程学部专业：信号与信息处理学生姓名：代菊学号：11409013任课教师：梅建琴大连理工大学DalianUniversityofTechnology1.GiventheODE:1)PlotthebifurcationdiagramandphasediagramsasFvaries,andinvestigatetheroutestochaos.2)ComputetheLyapunovexponents,andplotthevalueasafunctionofF.答：1）令，上述微分方程可
2、以化为：Matlab程序代码如下：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%定义ODE方程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%functiondx=ode(ignore,X)globalFwd;r=1;x=X(1);v=X(2);psi=X(3);dx=zeros(3,1);dx(1)=v;dx(2)=-r*v+x-x^3+F*cos(psi);dx(3)=wd;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%分岔图绘制程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%f
3、unctionduffing_bifur_Fclear;clc;globalFwd;wd=1.2;range=0.4:0.0001:0.47;%F的范围%range=0.4:0.001:0.47;%F的范围period=2*pi/wd;k=0;YY1=[];rangelength=length(range);YY1=ones(rangelength,3000)*NaN;step=2*pi/300/wd;%步长,由于wd=1，周期即为2*pi，此步长为1周期取100个点。forF=rangey0=[200];k=k+1;%除去前面6
4、0个周期的数据，并将最后的结果作为下一次积分的初值tspan=0:step:60*period;[ignore,Y]=ode45(@duffing,tspan,y0);y0=Y(end,:);j=1;kkk=300;forii=20:59forpoint=(ii-1)*kkk+2:ii*kkkifY(point,1)>Y(point-2,1)&&Y(point,1)>Y(point+2,1)&&Y(point,1)>Y(point-100,1)YY1(k,j)=Y(point,1);j=j+1;endend%取出每一个周期内的第一
5、个解的最后一个值。y0=Y(end,:);endendplot(range,bifdata,'k.','markersize',5);运行上述程序，并对结果进行分析：以F为自变量，运动幅度为因变量的分岔图如下：其混沌道路描述如下：(a)当时，微分方系统为单周期运动，此时的相图如下所示：(b)当时，单摆处于双周期运动状态，此时的相图如下所示：(c)当，单摆经历倍周期分岔，此时相图如下所示(d)当时，单摆进入混沌运动区，此时的系统相图如下所示：由该相图可知，系统在数个周期内作运动。(e)当时，系统恢复规则运动，此时相图如下：由上图可知
6、，系统从混沌中恢复，且做单周期运动。(2)wolf算法来计算李雅普诺夫指数的matlab程序如下：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%杜芬方程的参数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%functionf=duff_ext(t,X);globalF;r=1;x=X(1);y=X(2);psi=X(3);dx=zeros(3,1);f(1)=y;f(2)=-r*y+x-x^3+F*cos(psi);f(3)=0.2;%Linearizedsystem.Jac=[0,1,0;1-3*x
7、^2,-r,-F*sin(psi);0,0,0];f(4:12)=Jac*Y;%变量方程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算李雅普诺夫指数谱函数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function[Texp,Lexp]=lyapunov2();globalF;n=3;rhs_ext_fcn=@duff_ext;fcn_integrator=@ode45;tstart=0;stept=0.5;tend=300;ystart=[111];ioutp=10;n1=n;n2=n1*(n
8、1+1);%Numberofsteps.nit=round((tend-tstart)/stept);%Memoryallocation.y=zeros(n2,1);cum=zeros(n1,1);y0=y;gsc=cum;znorm=cum;%I
