量子力学补充习题.doc

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1、量子力学补充习题集物理系理论物理教研室2010年3月—19—第一章量子力学的实验基础1-1求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。1-2单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1，假设太阳平均辐射波长是5500，问这相当于多少光子？1-3一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的

2、百分比有多大？1-4用波长为2790和2450的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。1-5从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为其中m为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角

3、）1-7根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。1-8能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。1-11讨论受热He原子束为简单立方晶格（Å）

4、所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。第二章波函数和薛定谔方程2-1设粒子的波函数为，求在（）范围内发现粒子的几率。2-2设在球坐标系中粒子的波函数可表为：。试表出在球壳（）中找到粒子的几率。2-3沿直线运动的粒子的波函数。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易发现粒子，而该处的几率密度为何？—19—2-4作一维运动的粒子处在的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说明如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？2-5判断下列波函数所描写的状态是否定态

5、？（1）（2）（3）。2-6由下列定态波函数计算几率流密度：（1）（2）从所得的结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（向原点）传播的球面波2-7如在势能上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。2-8设体系的波函数为，式中，和为常数。为使此波函数满足定态薛定谔方程，应是怎样的函数？2-9设和是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关。第三章简单体系定态薛定谔方程的解3-1设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取

6、何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？3-2设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1Å，试求：（1）两个最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。3-3试将一维自由粒子的定态波函数和组合成具有确定宇称的波函数。3-4对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1，（取E＞U0）3-5一束粒子入射在一窄势垒（）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。—19—3-6用以下一维势场模型：来

7、研究金属电子的发射，求E>0时的透射系数D。3-7一势垒的势能为式中U0，A，a均为正数。试估算A

8、3-13给定U(x)=–U0δ(x)，求束缚态能级。第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1下列算符哪些是线性的？为什么？(1)(2)()2(3)(4)4-2线性算符具有下列性质：，式中C是复数。下列算符哪些是线性的？（