试卷代号1078国家开放大学2017年秋季学期“开放本科”期末考试-复变函数试题试题及答案2018年1月.pdf

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1、试卷代号:1078座位号rn国家开放大学(中央广播电视大学)2017年秋季学期"开放本科"期末考试复变函数试题(半开卷)2018年1月四陌万1E

2、i一、单项选择题(本题共20分，每小题4分}1.若Zl=(α，的，Z2=(c，d)手0，则ZI.Z2=().A.(ac,bd)B.(ac+bd,bc+ad)C.(ac-bd,bc+ad)D.(bd，αc)2.Ln(-1)=().A.(2k+1)πi(k为整数)B.2kπi(k为整数)C.πiD.一πi3.若f(z)=u十lV在区域G内是解析函数，则f'(z)=().A.Ux+ivxB.Ux一ivxC.Vx十iuxD

3、.Vx一iux4.函数f(z)=e%在复平面上可表示为().AE玉-B三二二c-Efi二D至三5.w=kz(是手0)是一个()的叠加。A.平移与反演变换B.平移与相似变换c.平移与旋转变换D.旋转与伸长(缩短)变换323二、填空题{本题共20分，每小题4分}6.称复平面添加一一一后所成的平面为扩充复平面.7.若函数fμ(z功)与gμ(zυ〉均在区域G内解析，则[f(zρ)•g(z)门叮]'二工=一一一一-一一一一一一J.8.r6sin

4、ZJZIH-1OzE一一一一一一一一斗12~-uz=一一一9.设函数f(z)在圆Iz-al=R内解析，若点G为f(z)的一一

5、一一一一一一零点，则f(z)恒为零.10.映射w=z-1将直线映射为[~*I，r~AI三、计算题(本题共45分，每小题15分)211.设u=x-x_y2，试求以u为虚部的解析函数f(z)=u十lV，使得f(i)=-1一i.12.将函数f(z)=_l一在点z=1的邻域内展成事级数.z-213.计算积分

6、一二;一一τdz，其中C:lz

7、24.Jz(z+1)"四、证明题{本题15分)14.试证:点z=-l是函数f(z)=z2+2z+1的二级零点.324试卷代号:1078国家开放大学(中央广播电视大学)2017年秋季学期"开放本科"期末考试复变函数试题答案及评分标准

8、(半开卷)(供参考)2018年1月一、单项选择题{本题共20分，每小题4分)1.C2.A3.A4.B5.D二、填空题(本题共20分，每小题4分)6.无穷远点7.f'(z)g(z)+f(z)g'(z)8.。9.非孤立10.直线三、计算题{本题共45分，每小题15分)11.解:由C-R条件有Ux=2x-1=Vy于是v=2xy-y+çp(x)由此得Vx=2y+rp'(x)=-Uy=2y从而有伊(x)=c(c为任意常数)…6分因此V=2xy-y十c故得唱nLnru分2Ef(z)=(x-x-y2)+i(2xy-y十c)且叫《严、Uu由f(i)=-l-i得c=0，故得f

9、(z)=(X2-x-y2)+i(2xy-y)=Z2一-z.........15分12.解:因为f(z)的有限奇点只有z=2，所以f(z)在点z=l可展成事级数，且f(z)在/z-l/

10、寸=1%-0Z(z十1)3分时，一1)=j_1叫(Z+1)3._e•m2!%~:_l~,.z(z十1)35-h故分JJLdz=2πi(l一旦)=πi(2一三)z(z+1)3---..,,-2e'...,-e四、证明题(本题15分)14.证:因为函数f(z)在点z=-l解析，且f(-1)=O，所以点z=-l为函数f(z)的零点，又因f(一1)=f'(-1)=0，但/'(-1)手。分故由定义知道.点z=一1为函数f(z)的二级零点.326