等比数列求和公式推导.pdf

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1、等比数列求和公式推导在一般的教材里，等比数列求和用到的是“错位相减法”，在汪老师的课堂案例中，汪老师给出了另外一种“从有到无”的方法，我将从简单的微积分思想入手，告知其中的缘由，也算做是一个大学数学对中学数学教学的启发案例.n1n1等比数列a，aaq，Saaqaq（n2），求S.在绝大多数教nn1n111n材里边，采用的方法是用公比q去乘以S，再做差，相信没人会认为这样有何不妥，这就n是所谓的“错位相减法”原理.但对于初学者而言，乘上公比q是不易理解的.汪老师则给出了一个更加容易解法：n1Saaqaqn111n2aqaaqaq1111aq

2、Sa1nnn1再由aaq就得出等比数列前n项和的求和公式n1na1q1S.n1q无疑，汪老师的方法更加简单、易于接受，其背后蕴含这深刻的数学史背景，我个人很推崇汪老师的方法.如果学过大学微积分以后，会发现这样的一个事实，分部积分法bbbfxdgxfxgxgxdfxaaa即bbfxg'xdxfbgbfagaf'xgxdxaa对于数学专业的同学，离散微积分里面的分部求和公式nnnSyDxyxxyxyxii1iii1iii0i0i0nnyixi1yi1xi1

3、y0x0yn1xn1i0i0nyxyxxyyyxyxSTxDyn1n100i1i1in1n100i0很容易发现，这和“错位相减法”是有很类似的地方，“错位相减法”错位相减以后留下来的恰好就是第n1项和第0项，下面我来具体验证“错位相减法”：n1先用“错位相减法”求等比数列前n项的和，Saaqaq，qSaqn111n1n1naqaq，两式相减得11nqSSaqa.nn11n受此启发，在分部求和公式中，我们令xaq，y1，代入公式中n1nn1nn1n1SyDxS1aqaq1aqa

4、0aqa111111即n1qSSaqa①.nn11实际上，“错位相减法”的本质就是“分部求和公式”，用到了简单的微积分思想，将“分部求和公式”倒过来写罢了.而汪老师的方法本质上也是一样的，对式①做了变形n1SqSaqaaqSann111nn就得到汪老师的解法.n同样，对于中学里边更一般的“错位相减法”，即aandq这样的形如等差数列n0n乘以等比数列构成的新的数列的求和，我们令xandq，y1，代入分部求和公n0n式中n1nn1SyDxSan1dqandq1an1dq1a00000

5、有n102nq1Sandqaqdqqqn00其中Saaa.n01n“分部求和公式”是求和的基本工具，最简单的例子是所谓的交错数列求和，如果y是nn一个正数数列，那么1y就叫做一个交错数列，我们定义n0,n2kxn1,n2k1n这样Dx1，所以交错数列可以写成yDx的形式，中学里面n1111112341234便是分部求和的特例.（华东师范大学数学系学生黄越）