数学建模 函数最优值问题模型.pdf

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1、函数最优值问题模型Modeling一.血管和管道的最优分叉角度二.罐的形状解决一个重大问题自然是伟大的发现，其实任何一个问题的解决都会有所发现。你解决的问题也许很平凡，但如果解决问题的过程，挑战了你的好奇心，激发了你的创作力，特别地，如果你是以自己的方式去解决问题，那么你就会经历一个紧张的过程，最终品偿到发现的喜悦。乔治.波利亚（GEORGEPOLYA）本课题改编自Stewart编《Calculus》（第5版）上册p.352的第四章：导数的应用解答：章栋恩（2011年1月）一.血管和管道的最优分叉角度血管系统由动脉、小动脉、微血管和静脉组成，它将血液从心脏传输到各个器官再流回到心脏.血管系

2、统应该使心脏推进血液所需的能量最小，而且当血液阻力减少时所需能量也减少.根据泊肃叶定律，血液阻力R为：LRC4r其中L为血管的长度，r是血管的半径，C为正常数，由血液粘度决定.（泊肃叶是通过实验发现这条定律的）图为半径为r的主血1管延伸出一条半径为r的支血管，二者的夹角为.2(a)利用泊肃叶定律证明沿路径ABD，血液总阻力为abcotbcscRC()44rr12其中a，b为图中所示的长度.4r(b)证明当时，cos2血液阻力最小.4r1(c)当细血管的半径是粗血管的三分之二时，求两血管夹角的最优值.(精确到最近的度数)解：（1）由直角三角形的边角关系，得

3、A

4、B

5、a

6、BD

7、cos,

8、BD

9、sinb

10、BD

11、bcsc,

12、AB

13、abcot所以沿路径ABD血液的总阻力为

14、AB

15、

16、BD

17、abcotbcscR()CCC4444rrrr12122bcscbcsccotcscbcot（2）R()C44bCcsc44rrrr1212csccot令R()0rr44124上式等价于r2cos4r144rr22易于验证：cos4时，R()0；cos4时，R()0rr114rcos2所以当4时，阻力为极小值（也是最小值）。r1442

18、22o（3）当rr21时,cos,arccos79333本课题改编自Stewart编《Calculus》（第5版）上册pp.353-354的第四章：导数的应用解答：章栋恩（2011年3月）二.罐的形状本课题研究最经济的罐子的形状问题。首先将问题描述成已知圆柱形罐子的容积V，求高h和半径r，使得制作罐子所用的金属最少（如图所示）。如果不考虑生产过程中材料的浪费，则问题转换成求圆柱体表面积的最小值。前面已经讨论过这个问题，当h=2r时，即高与直径相等时表面积最小。但是如果你注意看自己的橱柜或去超市看看，就会发现罐子的高通常大于直径，h/r的比率通常在2到3.8

19、之间。本课题将能够对此给出解释。1.做罐子的材料是从金属片上切下来的。把矩形卷起来就成了圆柱体的侧面，所以从金属片上切这些矩形时浪费得极少或根本没有浪费。但如果底面和顶是从边长为2r的正方形上切下的圆片（如图所示），这就会剩下很可观的边角料，这部分虽然可以回收，但是对于罐子的制造商来说就无法利用了。在这种情况下，证明所用材料最少的条件是h82.55r解：1.因为是从正方形上切割圆片做罐的顶与底，所以罐的顶与底所用材料为(2)rr224,故罐的表面积2A2rh2(4)rV2h但是由Vrh,得2r代入A的表示式，得VV22A2r2(4)r28r2rr对r求导得

20、2dA2VdA4V16r23160drr2drrdAV令2216r0drr1332得rV时材料的面积A有极小值。这时8rVrh2h8由此推得2.55.r2.制作圆片的一种更有效方法先将金属片分成六边形，在每个六边形上切出圆形（如图所示），证明采用这种方法时，用料最少的条件是h432.21r解．从正六边形上切割圆片，做罐的顶与底。正六边形的中心与边的距离是圆的半径r。2正六边形的面积23r,所以罐的表面积为2A2rh223r求导：2dA2VdA4V283,r830drrdr23r得驻点，并得A取极小值时有3243rVrhh43

21、由此推得2.21.r3.在问题1和问题2中h/r的比值与超市货架上罐头的实际情况接近，但还并不完全一样。仔细观察实际的罐头，会发现制作罐头底和盖的圆片半径要比r大，因为它们的边缘要压在侧面边缘上。考虑到这种情况外，还要考虑制作成本。假设制作成本的主体是将罐子边缘连接的耗费。如果按照问题2的方案从六边形上切下圆片的话，总成本与243r2rhk(4rh)成正比，其中k是焊接罐子边缘单位长度价格与单位面积材料价