微分中值定理练习题.pdf

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1、微分中值定理练习题1．试证拉格朗日中值定理．12．设fx()在0,1上连续，在(0,1)内可导，ff(0)(1)0，f1,试证：21（1）存在,1，使f()．2（2）对任意实数,(0,)，使ff()()1．3．模型Ⅰ：设fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，且fa()fb()0，则下列结论皆成立：（1）存在(,)ab，使ff()()0（为实常数）．k1（2）存在(,)ab，使f()kf()

2、0（kk0,为实常数）．（3）存在(,)ab，使f()g()()f0（gx()为连续函数）．14．设fx()在0,1上连续，在(0,1)内可导，f(0)f(1)0,f1，试证：21（1）存在,1，使f()．22（2）存在(0,)，使ff()3()1．5．模型Ⅱ：设fxgx(),()在ab,上皆连续，在(,)ab内皆可导，且fa()0,()gb0，则存在(,)ab，使f()()gf()()g

3、0．6．设fx()在0,1上连续，在(0,1)内可导，f(0)0，k为正整数，求证：存在(0,1)，使f()kf()f()．7．设fx()在0,1上连续，在(0,1)内可导，f(0)0．当x0时，fx()0,f()kf(1)试证：对任意正整数k，存在0,1使．ff()(1)x8．设x0，试证ln(1xx)．1x9．设不恒为常数的函数fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，且fa()fb()，证明：在(,)ab内至少有一点使

4、得f()0．10．设fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，bfb()afa()证明在(,)ab内至少存在一点，使ff()()．ba11．设0ab，函数fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，b证明存在一点,(,)ab，使fb()fa()f()ln．a12．设fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，且0ab，abf()证明：存在(,),ab(,)ab，使f()．213．设fx()在(,)ab内有f()x0

5、,xxx,,是(,)ab内相异的三个点，123xxx1123求证：ffx()fx()fx()12333314．若fx()在0,1上有三阶导数，且ff(0)(1)0，设Fx()xfx()．试证：在(0,1)内至少存在一点，使得F()0．15．设fx()在0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且ff(0)(1)0．试证：方程2()fxxf()x0在(0,1)内有一实根．16．设fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，f()fa()

6、试证：存在(,)ab使得f()．b17．设0ab，函数fx()在ab,上连续，在(,)ab内可导，且fa()bfb,()a，f()试证明：存在(,)ab使得f()．18．设fx()在0,上连续，在0,内可导，22证明：0,，使ff()sin22()cos20．219．设fx()在0,1上连续，(0,1)内可导，且f(1)0，证明：(0,1)，使ff()tan()0．20．设fx(

7、)在1,1上具有三阶连续导数，且f(1)0,(1)1,ff(0)0,，证明：(1,1)，使f()3．21．设fx()在aaa,(0)上具有二阶连续导数，且f(0)0．（1）写出fx()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；a3（2）证明：aa,，使af()3fxdx()．a2222．设x(0,1)，证明：(1x)ln(1x)x．fx()23．设lim1，且fx()0，证明：fx()x．x0x124．设函数fx()，在闭区

8、间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且ff(0)0,(1)31122证明：存在0,,,1．使得ff()()．2211125．证明（1）对任意正整数n，都有ln1n1nn111（2）设a1lnnn(1,2,)证明数列a收敛．nn23n微分中值定理练习题答案或提示（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）fb(