全等三角形模型之 - 半角模型.pdf

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1、半角模型（一）把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。特点：①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上2、解题思路①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；②证明与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边

2、上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，DB=DC且∠BDC=120°，∠EDF=60°，DE，DF分别交AB，AC于点E,F。求证：EF=BE+CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，点D,E在BC上，且满足∠DAE=45°。求证：DE^2=BD^2+CE^2半角模型练习（二）条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM与AN分别与BC边和CD边交与M,N两点，连接MN.思路：1、旋转辅助线；①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到

3、F，使FE=DM，连AF②将三角形AND绕点A顺时针旋转90°，得到三角形ABF。注意：旋转需证F,B.M三点共线结论：MN=BM+DN（2）C三角形CMN=2AB（3）AM,AN分别平分∠BMN,∠MND2、翻转（对称）辅助线：①做AP垂直MN，交MN于点P②将三角形AND,三角形ABM分别沿着AM,AM翻转，但一定要证明M,P,N三点共线如图，正方形ABCD的边长为2，点EF分别是在AD，CD上，若∠EBF=45°，则三角形EDF的周长等于多少？例题：已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”

4、，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF”，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明：