2019-2020年高考数学竞赛 整数问题教案讲义(17)

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1、2019-2020年高考数学竞赛整数问题教案讲义(17)一、常用定义定理1.整除:设a,b∈Z,a≠0,如果存在q∈Z使得b=aq,那么称b可被a整除,记作a

2、b,且称b是a的倍数,a是b的约数。b不能被a整除,记作ab.2带余数除法:设a,b是两个给定的整数,a≠0,那么,一定存在唯一一对整数q与r,满足b=aq+r,0≤r<

3、a

4、,当r=0时a

5、b。3.辗转相除法:设u0,u1是给定的两个整数,u1≠0,u1u0,由2可得下面k+1个等式:u0=q0u1+u2,0

6、u1

7、;u1=q1u2+u3,0

8、k-2u1+uk-1+uk,0

9、u0且d

10、u1的充要条件是d

11、uk+1;(3)存在整数x0,x1,使uk+1=x0u0+x1u1.5.算术基本定理:若n>1且n为整数,则,其中pj(j=1,2,…,k)是质数(或称素数),且在不计次序的意义下,表示是唯一的。6.同余:设m≠0,若m

12、(a-b),即a-b=km,则称a与b模同m同余,记为a≡b(modm),也称b是a对模m的剩余。7.完全剩余系:一组数y1,y2,…,ys满足:对任意整数

13、a有且仅有一个yj是a对模m的剩余,即a≡yj(modm),则y1,y2,…,ys称为模m的完全剩余系。8.Fermat小定理:若p为素数,p>a,(a,p)=1,则ap-1≡1(modp),且对任意整数a,有ap≡a(modp).9.若(a,m)=1,则≡1(modm),(m)称欧拉函数。10.(欧拉函数值的计算公式)若,则(m)=11.(孙子定理)设m1,m2,…,mk是k个两两互质的正整数,则同余组:x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解,x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM),其中M=m1m2mk;=,i=1,2

14、,…,k;≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法与例题1.奇偶分析法。例1有n个整数,它们的和为0,乘积为n,(n>1),求证:4

15、n。2.不等分析法。例2试求所有的正整数n,使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整数解。3.无穷递降法。例3确定并证明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解。4.特殊模法。例4证明:存在无穷多个正整数,它们不能表示成少于10个奇数的平方和。5.最小数原理。例5证明:方程x4+y4=z2没有正整数解。6.整除的应用。例6求出所有的有序正整数数对(m,n),使得是整数。7.进位制的作用例7能否选择1983个不同的正整数都不大于1

16、05,且其中没有3个正整数是等差数列中的连续项?证明你的结论。三、习题精选1.试求所有正整数对(a,b),使得(ab-a2+b+1)

17、(ab+1).2.设a,b,c∈N+,且a2+b2-abc是不超过c+1的一个正整数,求证:a2+b2-abc是一个完全平方数。3.确定所有的正整数数对(x,y),使得x≤y,且x2+1是y的倍数,y2+1是x的倍数。4.求所有的正整数n,使得存在正整数m,(2n-1)

18、(m2+9).5.求证:存在一个具有如下性质的正整数的集合A,对于任何由无限多个素数组成的集合,存在k≥2及正整数m∈A和nA,使得m和n均为S中k个不同元素的乘积。6.求最

19、小的正整数n(≥4),满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a,b,c,d使20

20、(a+b-c-d).7.对于正整数a,n,定义Fn(a)=q+r,其中q,r为非负整数,a=qn+r且0≤r≤n,求最大正整数A,使得存在正整数n1,n2,…,n6,对任意正整数a≤A,都有=1,并证明你的结论。8.设x是一个n位数,问:是否总存在非负整数y≤9和z使得10n+1z+10x+y是一个完全平方数?证明你的结论。9.设a,b,c,d∈N+,且a>b>c>d,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。证明:ab+cd不是素数。

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