2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）2.3《双曲线》word教案3篇

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1、2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）2.3《双曲线》word教案3篇　　由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了我们解题的思路与方法，使它在研究许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面来介绍向量在抛物线中的应用．　　1．解决共线问题　　例1　如图1，设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明：直

2、线AC经过原点．　　证明：由抛物线方程，可得焦点，，准线为．　　令，A、F、B共线，　　则可设，　　所以有，　　由轴，可得．　　又由点A在抛物线上，得，　　∵点在抛物线上，　　，　　从而，　　即．　　而，　　所以，　　即共线，也就是直线经过原点．　　评注：向量，，共线的充要条件为或．　　2．探求动点的轨迹方程　　例2　如图2，设点A和点B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．　　解：设．　　所以有，，，．　　∵，∴，即，　　化简，得．①　　又，∴，即，　　化简，得．

3、②　　又A、M、B三点共线，所以，　　即有，　　即．③　　将①、②代入③式，化简整理，得　　．　　因为A、B是异于原点的点，所以．　　故点M的轨迹方程为，它表示以为圆心，以为半径的圆（去原点）　　评注：在动点的形成过程中，若包含了比较复杂的变化方式，用正常的解析几何手段来解决往往显得较为繁琐，而灵活借助向量知识可达到化繁为简的目的．　　3．在证明中的应用　　例3　过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为，求证：．　　证明：显然，设A、B两点的纵坐标分别为．　　由教材

4、第9题的结论，得，　　则，　　于是，．　　故，　　所以，即，即．　　练习：（xx年全国高考天津卷理科试题）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点作斜率为的两条直线分别交抛物线C于、两点（P、A、B三点互不相同），且满足．（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（3）当时，若点P的坐标为，求为钝角时，点A的纵坐标的取值范围．答案：（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）证明略；（3）．聚焦抛物线的通径　　我们知道，抛物线的“通径”在课本上是这样定义的：经过抛

5、物线的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线交于、两点，线段叫做抛物线的通径．不难求得抛物线的通径长为．通径作为抛物线的一条特殊的弦，所具有的某些结论和结论的探求方法可为迅速寻求某些问题提供求解途径．　　一、“通径”性质的探求　　如图１，设抛物线方程为，为过焦点的弦，其所在直线方程为，联立消y有，．　　①，，（为弦所在直线的倾斜角且）．显然当时，．　　即“抛物线过焦点的弦长最小值为通径长”．　　②通径的端点和抛物线的顶点构成的等腰三角形面积为定值．　　证明：如图2，抛物线方程为，为其焦点，为抛物线的通径，则．二、

6、“通径”性质的应用　　抛物线的通径是过焦点的弦，但其本身有特殊的性质．如果解题时注意应用“通径”的这些性质，将减少运算量，提高解题的速度．　　例1　直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直．若被抛物线截得的线段长为4，则______　　解析：所截得的线段就是抛物线的“通径”，　　所以线段的长为，　　又，∴．　　例2　过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若与的长分别是，则等于（　　）　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．　　解析：本题可以用特殊位置法来解，因为弦是任意的，所以，可以取最特殊的情况：弦垂直y轴时（也就是“通径”）．

7、此时，∴，故选（C）．　　例3　已知探照灯的轴截面是抛物线，如图3所示，平行于对称轴x轴的光线在抛物线上经P、Q两点两次反射后，反射光线仍平行于对称轴x轴．设点P的纵坐标为，a取何值时，从入射点到反射点Q的光线路程最短．　　解析：利用光学知识将问题转化为焦点弦长的最小值问题，可用结论：通径长是焦点弦长的最小值，即，此时交点和分别为入射点和反射点　　若不用此结论，需构建目标函数，利用均值不等式求解．由光学知识知，光线恰过焦点，则，由，，解得．　　直线的方程与联立，解得交点，由抛物线的定义有，（当且仅当时取等

8、号），即当入射点为，反射点为时，路程最短．这时恰好关于对称轴对称，且为通径．妙用双曲线的焦半径　　双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径．已知点在双曲线上，分别为双曲线的左、右焦点，，．同理，焦点在y轴上的双曲线的焦半径为，，其中双曲线的焦点自下至上为．　　例1　已知是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：如图，的中点为，则P点的横坐标，，又由焦半