2016版高中数学人教A版必修四文档：第一章§3弧度制 Word版含答案

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1、§3　弧　度　制,　　)1．问题导航(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？(2)“2rad”的角终边在第几象限？(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？2．例题导读P10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并注意，不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面．试一试：教材P12习题1－3T1你会吗？P10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并注意，“度”的单位“°”不能省略．试一试：教材P12习题1－3T2你会吗？1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2

2、)单位圆半径为1的圆称为单位圆．(3)弧度制当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数．在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．弧度数与弧长公式(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．(2)公式：如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．弧度数公式：

3、α

4、＝；弧长公式：l＝

5、α

6、r；这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积．3．角度制与弧度制的换算(1

7、)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.017_45rad1rad＝°≈57.30°＝57°18′(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系角度数0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度数0角度数180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度数π2π4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式l＝l＝

8、α

9、r扇形面积公式S＝S＝r2＝lr注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧

10、度数，l是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用也就更加方便．注意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”为单位，则应该先化成弧度后再计算．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度指的是1度的角．(　　)(2)周角的大小是2π.(　　)(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．(　　)解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角．(2)正确．周角的大小是＝2π.(3)正确．若弧长为π，半径为2，则

11、α

12、＝，故其圆心角是直角．答案：(1)×　(2)√　(3)√　2．下列转化结果错误的

13、是(　　)A．60°化成弧度是　　B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－D.化成度是15°解析：选C.对于A，60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－；对于D，＝×180°＝15°.3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．解析：

14、α

15、＝＝＝2.答案：24．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________，面积S＝________．解析：因为α＝60°＝，r＝1，所以l＝

16、α

17、·r＝，S＝r·l＝×1×＝.答案：　1．对弧度制概念的三

18、点说明(1)“1rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1rad角的大小一样，πrad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．2．对弧度数计算公式的说明我们常用α＝来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在

19、角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为

20、α

21、＝.3．角度与弧度的区别与联系区别(1)定义不同，大小不同(2)单位不同(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．(2)度化为弧度时，应先将分、秒