运用简单线性规划思想理解求最值问题(好)(蒋政)

《运用简单线性规划思想理解求最值问题(好)(蒋政)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、运用简单线性规划思想理解求最值问题简单线性规划是高屮数学教学的新内容之一，是解决i些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束卜•条件卜•的二元函数的最值问题，但它的思想可以延仲到其他的数学最值问题的求解过程中。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题吋主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决-•些二元函数的最值问

2、题。木文将从规划思想出发来探讨一些高屮数学屮一些常见的函数最值问题。一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标（兀』）即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最人值和最小值的点的坐标（兀刃即简单线性规划的最优解。x-4y<-3例1已知<3x+5y<25,z=2x+y,求z的最大值和最小值%>1x-4>'<-3约束条件:<3x+5

3、y<25,是关于兀』的一个x>l二元一次不等式组；目标函或攵：z=2x+y，是关于兀,y的一个二元一次函数；可行域：是指由直线「4尸-3,3兀+5"25和兀=1所围成的一个三角形区域（包括边界）u（如图1）;图1可行解：所有满足（x.y）eU（即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数兀y都是可行解；最优解：（x,y）et/,即可行域内一点（x,y）,使得一组平行线x+y-z=O（z为参数）中的z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标（兀』）就是线性规划的最优解。当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程（或一元一次方程）时

4、，则可行域就传变成一条线段（或一条直线，或一条射线）。X+V=1例2已知兀,y满足<2x+4y>1,求x-2y>-6x-5y的最大值和最小值兀+y=1约束条件：<2x+4y»l,是关于x-2y>-6的一个二元一次不等式组；目标函数：z=x—5y»是关于兀,y的一个二元一次函数；可行域：是指由宜线兀+尸1被直线x-2y=-6和2x+4y=1所夹的一条线段AB（如图1）；可行解：所有满足（即线段上的点的坐标）实数都是可行解;最优解：（兀刃丘“，即可行域内一点（兀,y）,使得一组平行线x-5y-z=0（z为参数）屮的z取得最大值和最小值吋，所对

5、应的点的坐标（兀刃就是线性规划的最优解。这类问题的解决，关键在于能够止确理解线性约束条件所表示的儿何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最人值或最小值。二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是宜线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标（x,y）即可行解，在可行解中的使得冃标函数取得最大值和最小值的点的坐标（兀」）即最优解。例3已知兀,y满足，%2+y2

6、=4,求3x+2y的最大值和最小值图3约束条件：%2+y2=4,是关T*%,的一个二元二次方程；目标函数：z=3兀+2y,是关于兀,y的一个二元一次函数；可行域：是圆x2+y2=4±的圆周〃（如图3）可行解：所有满足（即圆周上的点的坐标）实数兀』都是可行解；最优解：（x,j）gC/,即可行域内一点（x,y）,使得一组平行线3x+2y-z=0（z为参数）屮的z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标（兀y）就是线性规划的最优解。给定区间内的函数最值问题也可以看作是这类问题。例4求函数y=x+-（xg[1,5]）的最大值和最小值。X图41

7、5约束条件：4是关于兀』的一个二元不等式y=x+—x组；目标函数：z=y是关于的一个二元一次函数；4可行域：函数y=兀+—的图象在直线x=l和x=5Zx间（包扌舌端点）的部分曲线〃（如图4）可行解：所有满足（^,y）et/（即曲线段上的点的坐标）实数兀,y都是可行解；最优解：（兀,即可行域内一点（x,y）,使得一组平行线3-^=0（z为参数）中的z取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标（兀刃就是线性规划的最优解。这类问题的解决，关键在于能够止确理解卄线性约束条件所表达的几何意义，并画岀其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函

8、数的最大值或最小值。三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高小数学小常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行