高中数学奥林匹克竞赛全真精彩试题

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1、实用文档2003年全国高中数学联合竞赛试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（）A．2046B．2047C．2048D．20492、设a，b∈R，ab≠0，那么，直线ax－y＋b=0和曲线bx2＋ay2=ab的图形是（）3、过抛物线y2=8（x＋2）的焦点F作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点,则线段PF的长等于()A．B．C．D．4、若，则的最大值是（）.A．B．C．D．5、已知x、y都在区间（－2，2）内，且xy=－1，则函数的最小值是（）

2、A．B．C．D．6、在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、不等式

3、x

4、3－2x2－4

5、x

6、＋3<0的解集是__________.8、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且

7、PF1

8、：

9、PF2

10、=2：1，则△PF1F2的面积等于__________.9、已知A={x

11、x2－4x＋3<0，x∈R}，B={x

12、21－x＋a≤0，x2－2（a＋7）x＋5≤0，x∈R}.若，则实数a的取值范围是__________.10、已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c=9

13、，b－d=__________.文案大全实用文档11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________.12、设Mn={（十进制）n位纯小数0.只取0或1（i=1，2，…，n－1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=__________.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设，证明不等式.14、设A，B，C分别是复数Z0=ai，Z1=＋bi，Z2=1＋ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线Z=Z0cos4t＋2Z1cos2tsin

14、2t＋Z2sin4t（t∈R）与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15、一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.加试一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B.所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间.在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC.求证：∠DBQ=∠PAC.二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数l，m，n，且l>m>n.已知，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x

15、的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、（本小题满分50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2＋q＋1，l≥q（q＋1）2＋1，q≥2，q∈N.已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）.答案一、选择题1、注意到452=2025，462=2116，故2026=a2026－45=a1981，2115=a2115－45=a2070.而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数.又1981＋22=2003，故a2003

16、=a1981＋22=2026＋22=2048.故选（C）.2、题设方程可变形为题设方程可变形为y=ax＋b和，则观察可知应选（B）.3、易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为y=.因此，A，B两点的横坐标满足方程：3x2－8x－16=0.由此求得弦AB中点的横坐标，纵坐标文案大全实用文档，进而求得其中垂线方程，令y=0，得P点的横坐标，即，故选（A）.4、5、由已知得，故而x∈（－2，）∪（，2），故当之值最小，而此时函数u有最小值，故选（D）.6、如图，过C作，以△CDE为底面，BC为侧棱作棱柱ABF－ECD，则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的.而△CDE的面积S=

17、CE×CD×sin∠ECD，AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD的高，故因此，故选（B）.二、填空题7、由原不等式分解可得（

18、x

19、－3）（x2＋

20、x

21、－1）<0，由此得所求不等式的解集为.8、设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为2a，2b，2c，则由其方程知a=3，b=2，c=文案大全实用文档，故

22、PF1

23、＋

24、PF2

25、=2a=6，又已知

26、PF1

27、：

28、PF2

29、=2：1，故可得

30、PF1

31、=4，

32、PF2

33、=2