【四维备课】高中数学 2.4《平面向量的数量积》教学设计 新人教A版必修

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1、2.4《平面向量的数量积》教学设计【教学目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.【导入新课】复习引入:1.向量共线定理:向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ.2.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有

2、一对实数、,使得把叫做向量的(直角)坐标,记作4.平面向量的坐标运算若,,则,,.若,,则5.∥(¹)的充要条件是x1y2-x2y1=06.线段的定比分点及λP1,P2是直线l上的两点,P是l上不同于P1,P2的任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成的比,有三种情况:8λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)7.定比分点坐标公式:若点P1(x1,y1),P2(x2,y2),λ为实数,且=λ,则点P的坐标为(),我们称λ为点P分所成的比.8.点P的位置与λ的范围的关系:①当λ>0时,与同向共线,这时称点P为的内分点.②

3、当λ<0()时,与反向共线,这时称点P为的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式:在平面内任取一点O,设=a,=b,可得=.10.力做的功:W=

4、F

5、×

6、s

7、cosq,q是F与s的夹角.新授课阶段1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.说明:(1)当θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向;(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°C2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,

8、则数量

9、a

10、

11、b

12、cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b=

13、a

14、

15、b

16、cosq,8(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.×探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b,而a×b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a¹0,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中,若a¹0,且a×b=0,不能推出b=0.因为

17、其中cosq有可能为0.(4)已知实数a、b、c(b¹0),则ab=bcÞa=c.但是a×b=b×ca=c如右图:a×b=

18、a

19、

20、b

21、cosb=

22、b

23、

24、OA

25、,b×c=

26、b

27、

28、c

29、cosa=

30、b

31、

32、OA

33、Þa×b=b×c但a¹c(5)在实数中,有(a×b)c=a(b×c),但是(a×b)c¹a(b×c)显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.3.“投影”的概念:作图定义:

34、b

35、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q

36、=0°时投影为

37、b

38、;当q=180°时投影为-

39、b

40、.4.向量的数量积的几何意义:数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

41、b

42、cosq的乘积.5.两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e×a=a×e=

43、a

44、cosq2°a^bÛa×b=083°当a与b同向时,a×b=

45、a

46、

47、b

48、;当a与b反向时,a×b=-

49、a

50、

51、b

52、.特别的a×a=

53、a

54、2或4°cosq=5°

55、a×b

56、≤

57、a

58、

59、b

60、例1已知

61、a

62、=5,

63、b

64、=4,a与b的夹角θ=120o,求a·b.例2已知

65、a

66、=6,

67、b

68、=4,a与b的夹角为60o求(a+2

69、b)·(a-3b).例3已知

70、a

71、=3,

72、b

73、=4,且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.例4判断正误,并简要说明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;对于②:应有0·a=0;对于④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a|

74、|b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;对于⑤:若

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