2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数的四则运算法则学案（含解析）新人教B版选修1 -1

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1、3.2.3　导数的四则运算法则学习目标　1.了解导数运算法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点　导数的四则运算(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．③′＝(g(x)≠0)．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一

2、定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)2．f(x)＝，则f′(x)＝.(　×　)3．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(　×　)题型一　利用导数四则运算法则求导例1　求下列函数的导数．(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xlnx＋2x；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.考点　题点　解　(1)f′(x)＝′＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.(2)f′(x)＝(xlnx＋2x)′＝(xlnx

3、)′＋(2x)′＝x′lnx＋x(lnx)′＋2xln2＝lnx＋1＋2xln2.(3)方法一　f′(x)＝′＝＝＝.方法二　∵f(x)＝＝＝1－，∴f′(x)＝′＝′＝－＝.(4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．反思感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能

4、化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cosxlnx；(3)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数乘除法则的混合运用解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋.(3)y′＝＝＝＝.题型二　导数运算法则的综合应用命题角度1　利用导数求函数解析式例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(

5、x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

6、osx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.又∵f′(x)＝xcosx，∴即解得a＝d＝1，b＝c＝0.反思感悟　解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)等于(　　)A．－3B．2eC.D.考点　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，∴f′(1)＝.(2)设

7、f(x)＝ax2－bsinx，且f′(x)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.考点　题点　答案　0　－1解析　f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(x)＝－b＝1.f′＝2a·－b·cos ＝，得a＝0，b＝－1.命题角度2　与切线有关的问题例3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　(1)1　(2)(e，e)解析　(1)y′＝＝，当x＝时，y′＝＝1，直线x

8、＋ay＋1＝0的斜率是－，由题意－＝－