2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 3.3 全称命题与特称命题的否定学案（含解析）北师大版选修1 -1

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1、3．3全称命题与特称命题的否定学习目标1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的

2、否定是全称命题．一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．(√)2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．(√)题型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在n∈Z，使n∉

3、Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思感悟1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；2(3)对任意x∈Z，x的个位数字不等于3.考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在一个能

4、被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．2(3)存在x∈Z，x的个位数字等于3.题型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：2(1)存在x∈R，x＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定2解(1)任意x∈R，x＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，

5、对结论作出否定就得到特称命题的否定．跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于

6、－2

7、＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z

8、，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．题型三全称命题、特称命题否定的应用2例3已知命题p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．考点全称命题与特称命题的否定题点由全称命题与特称命题的真假求参数的范围πx＋解∵sinx＋cosx＝2sin4>m，若p(x)为真命题，则m<－2.∵p(x)为假命题，∴m≥－2，①2由q(x)为真命题，得Δ＝m－4<0，即－2

9、.引申探究若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解由例3知p(x)为真命题时，m<－2，q(x)为真命题时，－2

10、其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．22跟踪训练3已知函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．考点存在量词与特称命题的真假判断题点存在性问题求参数的范围解在区间