浙江专用2020版高考数学新增分大一轮复习第四章导数及其应用4.1导数的概念及运算讲义含解析

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1、§4.1　导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．2.会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、，即f′(x0)＝＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内

3、的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′

4、(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，

5、f′(x)

6、增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示　

7、f′(x)

8、越大，曲线f(x)的形状越

9、来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示　不一定．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　×　)(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)(4)因为(lnx)′＝，所以′＝lnx．(　×　)(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)(6)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(　×　)题组二　教材改编2．[P18A组T5]若f(x)＝

10、x·ex，则f′(1)＝.答案　2e解析　f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．[P18A组T6]曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为．答案　2x－y＋1＝0解析　∵y′＝，∴y′

11、x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三　易错自纠4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)答案　D解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x

12、0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)A.B.C.D.答案　D6．已知f(x)＝x2＋2xf′(2018)＋2018lnx，则f′(2018)等于(　　)A．2018B．－2019C．2019D．－2018答案　B解析　由题意得f′(x)＝x＋2f′(2018)＋，所以f′(2018)＝2018＋2f′(2018)＋，即f′(2018)＝－(2018＋1)＝－2019.7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，

13、f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝.答案　1解析　f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又点(2,7)在切线上，可得a＝1.题型一　导数的计算1．已知f(x)＝sin，则f′(x)＝.答案　－cosx解析　因为y＝sin＝－sinx，所以y′＝′＝－(sinx)′＝－cosx.2．已知y＝，则y′＝.答案　－解析　y′＝′＝＝－.3．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝.答案　解析　y′＝′＝