三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题06立体几何（解答题）文（含解析）

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1、专题06立体几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以D

2、E⊥平面，故DE⊥CH.从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明

3、：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故．又，所以BE⊥平面．（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足为F，则EF⊥平面，且．所以，四棱锥的体积．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.3．【2019年高考全

4、国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以

5、平面ABC平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMCG，故CG平面DEM．因此DMCG．在DEM中，DE=1，EM=，故DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力.4．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥中，平面A

6、BCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】（1）因为平面ABCD，所以．又因为底面ABCD为菱形，所以．所以平面PAC．（2）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PA

7、B．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．

8、【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线AD与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】（1）连接，易知，.又由，故.又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面平面PCD，平面平面，所以平面PAC，又平面PAC，故.又已知，，所