上学期高一同步优化训练数学第三章数列卷附答案

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1、第三章　数列(一)●知识网络●范题精讲一、等差数列的概念、通项公式【例1】等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.分析：在等差数列中，有a1、an、n、d、Sn五个基本量，若已知其中的任何三个，总可以求出另外两个的值.解：(1)由an=a1+(n－1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.解得n=11或n=－22(舍去).评注：本题

2、是一个最基础的数列题，内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法，考查运算能力.知识点较为单一，但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.二、等差数列性质的应用【例2】已知等差数列{an}为等差数列，p≠q,ap=q,aq=p,求ap+q.分析：可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列性质求解，还可利用一次函数图象来解.①②解法一：相减得(p－q)d=q－p,∵p≠q,∴d=－1.代入①,得a1=p+q－1.故ap+q=a1+(p+q－1)d=0.

3、解法二：ap=aq+(p－q)d,∴q=p+(p－q)d,以下同解法一.解法三：不妨设p

4、2,得a1=12－2d.又－＜d＜－3.(2)解法一：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0,即a6+a7＞0,a7＜0,由此得a6＞－a7＞0.故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.解法二：Sn=na1+d=n(12－2d)+n(n－1)d=n2－(－12)n=［n－(5－)］2－［(5－)］2.∵d＜0,∴［n－(5－)］2最小时，S

5、n最大.当－＜d＜－3时，6＜(5－)＜6.5.∴n=6时，［n－(5－)］2最小.∴S6最大.解法三：由d＜0,可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由已知故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.评注：第(2)题用了三种方法来解，解法一与解法三类似，只是确定a6＞0,a7＜0的方法不同，解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.四、数列的应用【例4】某鱼塘养鱼，由于改进了

6、饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n年与第(n－1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).(2)由于环境污染及池塘老化等因素，致使每年将损失年产量的10%，这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是，请予以证明；若不是，请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an，则a1=a(1

7、+200%)=3a,a2=a1(1+×200%)=6a,a3=a2(1+×200%)=9a,a4=a3(1+×200%)=a.依此，得an=an－1(1+×200%)=an－1［1+()n－2］(n∈N*,n≥2).(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则b1=a1(1－10%),b2=b1(1+×200%)(1－10%),…,bn=bn－1［1+()n－2］(1－10%).令bn＜bn－1,则0.9［1+()n－2］＜12n－2＞9,∴n－2＞,即n＞5.17.由n∈N*知n≥6.故从第6年起，产量将不如上一年.评注：

8、这是一道数列型应用题，审题时应抓住从第二年开始，"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键，把它抽象为数列的通项，容易求出递推关系式an=an－1［1+()n－2］(n∈N*且n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题，利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第三章