资源描述：
《2008年考研数学一真题与答案解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）x2(1)设函数fx= ln(2+t)dt,则f'(x)的零点个数为0(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】f'x=2xln(2+x2)且ln(2+x2)≠0，则x=0是f'(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数x(2)函数fx,y=arctan在点(0,1)处的梯度等于y(A)i(B)−i(C)j(D)−j【答案
2、】A。【解析】∂f(x,y)∂f(x,y)gradfx,y=i+j∂x∂y1x−∂f(x,y)yy∂f(x,y)y2x∂x=x2=22,∂y=x2=−221+()x+y1+()x+yyy所以gradfx,y=f'0,1i+f'0,1j=1∙i+0∙j=i(0,1)xy综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以y=Cex+Ccos2x+Csin2x(C,C,C123123为任意常数)为通解的是(A)y'''+y''−4y'−4y=0(B)y'''+y''+4
3、y'+4y=0(C)y'''−y''−4y'+4y=0(D)y'''−y''+4y'−4y=0【答案】D。【解析】由通解表达式y=Cex+Ccos2x+Csin2x123可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i可见其对应特征方程为λ−1λ2+4=λ3−λ2+4λ−4=0故对应微分方程为y'''−y''+4y'−4y=0综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数f(x)在(−∞,+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是(A)若{xn}收敛，则{
4、f(xn)}收敛(B)若{xn}单调，则{f(xn)}收敛(C)若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛(D)若{f(xn)}单调，则{xn}收敛【答案】B。【解析】【方法一】由于{xn}单调，f(x)单调有界，则数列{f(xn)}单调有界，根据单调有界准则知数列{f(xn)}收敛。【方法二】1,x≥0(−1)n排除法：若取fx=,xn=,则显然f(x)单调，{xn}−1,x<0n1，n为偶数收敛，但fxn=，显然{f(xn)}不收敛，排除A。−1,n为奇数若取fx=arctanx,xn=n,显然{f(xn)}收敛且单
5、调，但{xn}不收敛，排除C和D。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则(A)E−A不可逆，E+A不可逆(B)E−A不可逆，E+A可逆(C)E−A可逆，E+A可逆(D)E−A可逆，E+A不可逆【答案】C。【解析】因为E−AE+A+A2=E−A3=EE+AE−A+A2=E+A3=E所以可知E−A可逆，E+A可逆综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数—
6、矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程xx,y,zAy=1z在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x2y2z2−−=1a2b2c2二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(7)设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=min
7、{X,Y}的分布函数为(A)F2(x)(B)F(x)F(y)(C)1−1−F(x)2(D)1−F(x)[1−F(y)]【答案】A。【解析】FZx=PZ≤x=PmaxX,Y≤x=P{X≤x,Y≤x}=PX≤xPY≤x=FxFx=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8)设随机变量X~N0,1,Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则(A)PY=−2X−1=1(B)PY=2X−1=1(C)PY=−2X+1
8、=1(D)PY=2X+1=1【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果
9、ρXY
10、=1,则必有PY=aX+b=1可得EY=aEX+b已知X~N0,1,Y~N(1,4),所以1=0+b,得b=1又Cov(X,Y)1=ρXY=DXDY而CovX,Y=CovX,aX+b=aCovX,X=aa所以1=,a=214即PY=2X+1=1综上所述，本题正确答案是D。【考
