2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2

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1、5.2　平行关系的性质学习目标　1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理(重点)；2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题(重、难点).知识点一　直线与平面平行的性质定理文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行符号语言⇒a∥b图形语言【预习评价】(1)如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？提示　不一定，因为还可能是异面直线.(2)如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直

2、线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？提示　无数个，a∥b.知识点二　平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【预习评价】观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.(1)平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？提示　是的.(2)若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？提示　不一定，也可能异面.(3)过BC的平面交平面A1B1C1

3、D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？提示　平行.题型一　线面平行性质定理的应用【例1】　如图所示，四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角.(1)证明　∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH平面BCD，EF平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD.平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.(2)解　由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知，

4、∠EFG或其补角即为所求.又因为∠EFG＝90°，故AB、CD所成的角为90°.规律方法　利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面.(3)确定交线.(4)由性质定理得出结论.【训练1】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明　∵AC∥A1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1

5、∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二　面面平行性质定理的应用【例2】　已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明　①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD平面α，MN平面α，∴MN∥平面α.②若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线

6、分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED平面α，PN平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法　(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2

7、】　平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.解　有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧.(1)当S位于α、β之间时，如图，连接AC，BD，AB∩CD＝S.设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.因为α∥β，且AC与BD共面，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BDS，所以＝.设CS＝x，则＝，所以x＝16.(2)当S位于α，β同侧时，如图，AB∩CD＝S，设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD.所以△SAC∽

8、△SBD，所以＝，即＝，所以SC＝272.综上所述，SC＝16或272.【例3】　如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.求证：当F、A、D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.证明　在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G.由于AB