（通用版）2019版高考数学二轮复习 专题检测（七）导数的简单应用 理（普通生，含解析）

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1、专题检测（七）导数的简单应用A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：①f′(x)>0时，x<－1或x>2；②f′(x)<0时，－1

2、知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.3．(2019届高三·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为(　　)A．(－3,3)B．(－11,4)C．(4，－11)D．(－3,3)或(4，－11)解析：选C　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时

3、f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.4．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－2]B.C．[－2，＋∞)D．[－5，＋∞)解析：选C　由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或⇔－2≤a≤2或⇔a≥－2，故选C.5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y

4、＝x解析：选D　法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋

5、1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.6．函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)＝ex，且f(1)＝e，则(　　)A．f(x)的最小值为eB．f(x)的最大值为eC．f(x)的最小值为D．f(x)的最大值为解析：选A　设g(x)＝xf(x)－ex，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－ex＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex为常数函数．因为g(1)＝1×f(1)－e＝0，所以g(x)＝xf(x)－ex＝g(1)＝0，所以f(x)＝，f′(x)＝，当0

6、0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)≥f(1)＝e.二、填空题7．(2019届高三·西安八校联考)曲线y＝2lnx在点(e2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：因为y′＝，所以曲线y＝2lnx在点(e2,4)处的切线斜率为，所以切线方程为y－4＝(x－e2)，即x－y＋2＝0.令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝－e2，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×e2×2＝e2.答案：e28．已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是________．解析：函数f(x)＝x2－5x＋2ln

7、x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝>0，解得02，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．答案：和(2，＋∞)9．若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，0)三、解答题10．已知f(x)＝ex－ax2，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝bx＋1.(1)求a，b的值；(2)求f(x

8、)在[0,1]上的最大值．解：(1)f′(x)＝ex－2ax，所以f′(1)＝e