2019年高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业 新人教A版选修2-1

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1、2019年高中数学3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　　)A.a　　　　B.b　　　　C.a+2b　　　　D.a+2c【解析】选D.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=,b=,a+2b=p-q,所以A,B,C都不合题意.因为{a,b,c}为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.2.(xx·济宁高二检测)设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3

2、GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)A.　B.C.　D.【解析】选A.因为==(+)=+×=+[(-)+(-)]=++,而=x+y+z,所以x=,y=,z=.3.(xx·成都高二检测)若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间一个基底的关系是(　　)A.=++B.=+C.=++D.=2-【解析】选C.对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,,,共面;对于B,D选项,易知,,共面,故只有选项C中,,不共面.4.(xx·兰州高二检测)已知点A在基底{a,b,c}下的坐标

3、为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为(　　)A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)【解析】选A.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).5.(xx·西安高二检测)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为(　　)A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c【解析】选C.如

4、图所示,连接ON,AN,则=(+)=(b+c),=(+)=(-2+)=(-2a+b+c)=-a+b+c,所以=(+)=-a+b+c.【变式训练】如图所示,空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,D为BC的中点,H为OD的中点.设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.【解析】=-.因为==(+)=(b+c),=+=+=+(-)=+×(+)=a+(b+c),所以=(b+c)-a-(b+c)=-a+b+c,即=-a+b+c.6.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+

5、2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为(　　)A.,-1,-　B.1,2,3C.1,1,1　　D.1,-1,1【解析】选A.因为d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3,所以解得【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.(3)求a在单位正交基底

6、下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=xe1+ye2+ze3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(xx·南昌高二检测)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别是　　　　　　.【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则=　　　　.【解析】2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++,所以=(++).答案:(++)9.(xx·

7、长春高二检测)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则=　　　　(用a,b,c表示).【解析】=+=+(+)=+(+-)=c+(a+b-c)=a+b.答案:a+b【一题多解】在三角形B1DC中,因为E为B1C的中点,利用平行四边形法则有=(+),=+=+=+=c+a,=+=+=-c+b.所以三、解答题(每小题10分,共20分)10.(xx·安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的方向

8、为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,C1,D1的坐标.【解析】设i,