2019-2020年高考数学一轮复习 第2讲 知能训练轻松闯关（选修4-5）

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1、2019-2020年高考数学一轮复习第2讲知能训练轻松闯关（选修4-5）1．如果x>0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．解：(－1)2－(＋1)2＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]＝－4．∵x>0，∴>0，∴－4<0，∴(－1)2<(＋1)2．2．若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2和<2中至少有一个成立．证明：假设<2和<2都不成立，则有≥2和≥2同时成立．因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x．两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2．这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．3．已知△ABC的三边长分别是a，b，

2、c且m为正数，求证：＋>．证明：要证＋>，只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)>0，即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0．由于a，b，c分别是△ABC的三边长，故有a＋b>c．∵m>0，∴(a＋b－c)m2>0，∴abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0是成立的，因此＋>成立．4．已知a>0，b>0，c>0，a＋b>c．求证：＋>．证明：∵a>0，b>0，∴>，>．∴＋>．而函数f(x)＝＝1－在(0，＋∞)上递增，且a＋b>c，c

3、>0，∴f(a＋b)>f(c)，则>，所以＋>，则原不等式成立．5．(xx·高考课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝．(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4．(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4．由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6．6．(xx·贵州省六校第一次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9．证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋

4、4≥4＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴＋＋≥8．(2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8．∴≥9．1．(xx·高考新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c．所以＋＋

5、≥1．2．(xx·河北唐山模拟)设不等式－2<

6、x－1

7、－

8、x＋2

9、<0的解集为M，a，b∈M．(1)证明：<；(2)比较

10、1－4ab

11、与2

12、a－b

13、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

14、x－1

15、－

16、x＋2

17、＝由－2<－2x－1<0，解得－

18、a

19、＋

20、b

21、<×＋×＝．(2)由(1)得a2<，b2<．因为

22、1－4ab

23、2－4

24、a－b

25、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以

26、1－4ab

27、2>4

28、a－b

29、2，故

30、1－4ab

31、>2

32、a－b

33、．3．(xx·高考辽宁卷)设函数f(x)＝2

34、x－1

35、＋x－

36、1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤．解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1．所以f(x)≤1的解集为M＝．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16≤4，解得－≤x≤．因此N＝，故M∩N＝．当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－≤．4．(xx·洛阳市统考)(1)已知x，

37、y都是正实数，求证：x3＋y3≥x2y＋xy2；(2)若不等式

38、a－1

39、≥＋＋对满足x＋y＋z＝1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：(x3＋y3)－(x2y＋xy2)＝x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x－y)(x2－y2)＝(x－y)2(x＋y)．又x，y都是正实数，∴(x－y)2≥0，x＋y>0，即(x3＋y3)－(x2y＋xy2)≥0，∴x3＋y3≥x2y＋xy2．(2)根据柯西不等式有(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋