2019-2020年高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.1正余弦定理撬题文

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1、2019-2020年高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.1正余弦定理撬题文1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B

2、＝2，则AB的取值范围是________．答案　(－，＋)解析　如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，则PB＝＝＋；在△QBC中，由余弦定理QB2＝BC2＋QC2－2QC·BC·cos30°＝8－4＝(－)2，故QB＝－，所以AB的取值范围是(－，＋)．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值

3、为________．答案　8解析　由cosA＝－得sinA＝，所以△ABC的面积为bcsinA＝bc×＝3，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b－c)2＋2bc－2bccosA＝22＋2×24－2×24×＝64，故a＝8.5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．答案　解析　因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(

4、a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝，又0b，所以∠B＝.7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案　－解析　由2sinB＝3sinC，结合正弦定理得

5、2b＝3c，又b－c＝a，所以b＝c，a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝－.8．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得＝＝.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCco

6、s∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.