西交高等数学考前模拟题答案

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1、一.计算题1.求曲线y=2sinx+x2上横坐标为x=0的点处得切线和法线方程？解：x=0，则y=2sinx+x2=0

2、x=0=2cosx+2x

3、x=0=2y-y0=(x-x0)切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0法线方程y-0=-(x-0),即x+2y=02.要造一个圆柱形的油罐，体积为V，问底半径和高为多少？才能使表面积最小？解：由V=πr2h,得h=.于是油罐表面积为S=2πr2+2πrh(0

4、为何值时，曲线y=ax2与y=lnx相切，并求切线、法线方程？解：ax2=lnx两边求导得2ax=x=（负值舍去）把x=代入ax2=lnx得a=切点：=（负值舍去），=对y=ax2求导得代入a,x值得到斜率k=切线方程法线方程1.某商品定价为5元/件，每月可售1000件，若每件每降低0.01元，则可多出售10件，求出售商品多少件时收益最高？解：设每件降0.01X则可以多售出10X件所以所以当x=200的时候y为MAX9000因为这个函数在数轴的图形是在定义域[0，200]单调递增，在定义域[200，500]单调递减所以当X=200时能卖出3000件2.函数f(x)=xcosx在

5、(-∞,+∞)上是否有界？当x→+∞时，f(x)是否为无穷大？为什么？3.证明：双曲线xy=a2上任意一点处得切线与两坐标构成的三角形面积都等于2a2，对双曲线上任意一点N（）其切线为得所以三角形面积1.假设某种商品的需求量Q是单价p（单位：元）的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品单位和最大利润解：（1）（2）利润函数P=101时利润最大，且最大利润二.证明题1.证明不等式

6、arctana-arctanb

7、≤

8、a-b

9、解：只要证：取f(x)=arctanx,则存在ε属于[a,b]使

10、f'(ε)=显然

11、f'(ε)

12、≤1故原式成立2.设a>b>0,证明0第一个<成立第二个<号令f(x)=x-1-lnx求导1->0递增f(1)=0所以f(x)>0第二个<成立3.证明方程x5-3x+1=0在1与2之间至少存在一个实根解：设，这是个连续函数f(1)=-1<0f(2)=27>0那么在1到2之间肯定有至少一个值让f(x)=0也就是那个方程的实根4.证明恒等式：arcsinx+arccosx=(-1≤x≤1)证明：f(x)=arcsinx+arccosx在[-1,

13、1]连续，在(-1,1)可导，由拉格朗日中值定理：一定在[-1,1]中找到一个c点使得，又这个式子可以计算得，该定理的推论是：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数因为：(arcsinx)'=(arccosx)'=-所以f'(x)=0得证三．填空题1.=2.=3.=4.=5.设y=xtanx-3secx,则=6.设y=x，则dy=7.=8.函数y=x-sinx在区间[0，2π]是单调9.找不到题目10.11.=12.13.14.15.设则=16.设则dy=17.18.函数在内是单调递增的，原因是19.20.21.22.23.2/924.=25.设

14、，则26.设则27.28.函数在区间[0,4]上极小值是29.30.四．选择题1.设函数，它的定义域是（C）A.

15、x

16、<1B.1

17、x

18、≤32.极限（C）A.1B.0C.2/3D.3/23.下列各函数的极限存在的是（A）A.B.C.D.4.当（C）A.x是同阶无穷小量B.x是等阶无穷小量C.比x高阶的无穷小量D.比x低阶的无穷小量5.函数的间断点为x=（D）A.-1B.2C.-2D.16.若，则（D）A.B.C.D.7.函数f(x)=1/x,满足拉格朗日中值定理条件的区间是（D）A.[1,2]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,1]8.函数f(x)

19、=()的极小点为（）A.0B.-1C.1D.不存在9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30