浙江高考数学总复习第三章第3讲导数与函数的极值最值学案

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1、第3讲　导数与函数的极值、最值最新考纲　了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).知识梳理1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′

2、(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，

3、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　)(2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(　　)解析　(1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.答案　(1)×　(2)√　(3)

4、×　(4)√2.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　)-7-A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3.答案　D3.(选修2－2P32A4改编)

5、如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案　A4.(2017·武汉模拟)函数y＝2x3－2x2在区间[－1，2]上的最大值是________.解析　y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8,所以最大值为8.答案　85.函数f(x)＝lnx－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.解析　∵f′(x)＝－a，∴f

6、′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.答案　16.(2017·杭州调研)函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值为________；最小值为________.解析　∵y＝x＋2cosx，x∈，∴y′＝1－2sinx，x∈，令y′＝0，得x＝，当x∈时，y′>0，当x∈时，y′<0，故x＝时，∴y最大＝y极大＝＋-7-，又x＝0时，y＝2；x＝时，y＝，∴y最小＝.答案　＋　考点一　用导数解决函数的极值问题【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2－2x－4lnx；(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－(a

7、∈R且a≠0).解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－＝，令f′(x)＝0得x＝2或－1(舍).随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值∴f(x)有极小值f(2)＝－4ln2，无极大值.(2)由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.令f′(x)＝0得x＝0或.当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f(0

8、)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：-7-x0(0，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝f＝－－＋1.规律方法　函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值