2、ABC的面积为( )A.B.C.D.5.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=( )A.B.C.-D.-6.两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,示意图如图所示,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )A.30°B.45°C.60°D.75°7.已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( )A.B.C.D.8.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )A.()B.(1,)C.(,2)D.(0,2)二、填空题(本大题共6小题,每小题
3、5分,共30分)9.已知α∈,tanα=2,则cos= . 410.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 . 11.= . 12.已知△ABC外接圆半径是2,BC=2,则△ABC的面积最大值为 . 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则角B= ;若b=,a+c=3,则△ABC的面积为 . 14.(2017浙江金丽衢十二校模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosB=b
4、cosA,4S=2a2-c2,其中S是△ABC的面积,则C的大小为 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.16.(本小题满分15分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=sinB,且满足tanA+tanC=.(1)求角C和边c的大小;(2)求△ABC面积的最大值.4参考
5、答案专题能力训练7 三角恒等变换与解三角形1.A 解析sin2α=2sinαcosα==-.故选A.2.D 解析函数y=sinx(cosx-sinx)=sinxcosx-sin2x=sin2x-cos2x=sin.∵-1≤sin≤1,∴-≤y≤.故选D.3.A 解析由A+B+C=π,A+B,故三角形ABC为钝角三角形,反之不成立.故选A.4.B 解析依题意得cosC=,C=60°,因此△ABC的面积等于absinC=.故选B.5.C 解析∵sinα+2cosα=,∴(sinα+2cosα)2=,即sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,可得,解得tanα=
6、3.故tan2α==-.6.B 解析依题意可得AD=20,AC=30.又CD=50,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD==.又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°.所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.7.C 解析∵α,β均为锐角,∴-<α-β<.又sin(α-β)=-,∴cos(α-β)=.又sinα=,∴cosα=,∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=.∴β=.8.A 解析因为B=2A,所以sinB=sin2A,所以sinB=2sinAcosA,所以b=2acosA,又因为a=1,所以b
7、=2cosA.因为△ABC为锐角三角形,所以0
