(巴达拉胡)求函数极限的方法和技巧

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1、求函数极限的方法和技巧摘要：本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限。引言在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合，力图在方法的止确灵活运用方面，对读者有所助益。主要内容一.求函数极限的方法1、运用极限的定义例：用极限定义证明：兀一—3x+2limXT2X-2证:rh兀2—3兀+21兀24兀+4jv—2ix—2=1V£>0取—则当Ovx—2

2、吋，就有3"2_i«x—2由函数极限£-力定

3、义有:limxt2—3x+2x—2=12、利用极限的四则运算性质若limf(x)=Alimg(x)=BX—>X0X—>A()(I)lim[/(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±Bx—>A0XTX0XTX。(II)lim[/(x)-g(x)]=lim/(%)•limg(x)=A-BXT"。XTX。(III)若BHO贝山f(x}lim.f(x)a恤四==-xTx°g(x)limg(x)BXTXO(IV)limc'/(x)=c-lim/(x)=cA(C为常数)x—».v0x—»x0上述性质对于XT8,XT+oo,X—>-8时也同样成立例：求iin/+%+5心2%

4、+4解:.+3x+5_2~+3・2+55lim一=—XT2兀+42+423、约去零因式（此法适用于XT兀。时省型）例：求lim弓」16—20xT-2x3+lx2+16x+12解：原式二limXT—2(x3-3a:2-1Ox)+(2x2-6x-20)(x"+5兀~+6兀)+(2x°+1Ox+12)limxt-2(兀+2)(兀2—3兀一10)(兀+2)(兀~+5x+6)=Hm(£_-3x-10)xt-2(厂+5x+6)limU'5)(A+2)"2(x+2)(兀+3)-limXT—2^^=-7x+3-lim4、通分法（适用于。o-oo型）例：求凹（4-厂2-丿解：原式二lim—(2

5、+兀)XT2(2+X)•(2—X)(2—x)XT2(2+x)(2-x)二lim——XT22+X5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)设函数f(x)、g(x)满足：(I)lim/(x)=OXT.Io(II)g(x)

6、下列极限①lim—-—②lim—-—心8X+5XT1X_1解：由lim(x+5)=oo故=o"TooXT8%+5由1映。-1)=0lim——XTlX-oo7、等价无穷小代换法设a,a,/3,/3都是同一极限过程中的无穷小量，且有：1a〜a、卩〜卩,lim-^r存在，■贝I」lim-^也存在，且有lim》二lim^-例：求极限lim匚竺匚xto%-sinx~解：sinx2-x2,1-cosx2〜)2U2)21-cosx2_2_1…™x2sinx2x2x2~2注：在利用等价无穷小做代换时，…般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往

7、改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。(A)lim竺^=1(B)lim(l+-)x=ex—>0兀x—>8%但我们经常使用的是它们的变形:(A)lim里警1=1,(0Cx)tO)(P(x)(B')lim(l+」一)*)=£,(0(x)too)(pg例：求下列函数极限(l)Jim—"TOX(2)、lim迥竺竺DIncosfoxW：⑴令/-1»,则"也旧于是竺二1=上1叱axln(l+w)又当XT0时tO故有Jim口=limxtOx“tOInalimizlln(l+u)“toln(l+u)「Inatlim二]na“TO1ln(l+u)"(2)、原式二ln[(l

8、+(cosax一1)]=lim心0in[l+(cos/?x-1)]i・ln[(l+(cosax一1)]cosbx一1=limgocosax—1cosax—1ln[l+(cosbx-1)]cos/?x-l■・costo-1=limxtocosax一1sin叫2-2sin2limf2°c•2b-2sin—x2limfXT°e9OCl.7sirr—x(—x)〜22b29er(

9、b9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。⑴若/(x)在兀=兀0处连续,则limf(x)=f(xQ)XT%(“)若/'[