数值分析期末考卷

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1、数值分析期末试题（一）参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）(1)1-23-20，则心213对于方程组2Xi-5x?=110x.-4=3'JaCObi迭代法的迭代矩阵是恥02.52.50的相对误差约是x*的相对误差的」/3倍.H厂心）1+广久）Al•求方程X=/（X）根的牛顿迭代格式是兀卄1=心设f(x)=x⑼〃个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-l次.3（1（））拟合三点（%!，/（%!））,（兀2，/（兀2）），（兀3，/（兀3））的水平直线是/=1二.（10分）证明：方程组使用Jacobi迭代法

2、求解不收敛.证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为+X-1,则差商/[0,1,2,3]=1⑹设nxn矩阵G的特征值是备心，…乂八则矩阵G的谱半径/?（G）=_max

3、/,兄3=-Jl・25i,故p{Bj)=a/1.25>1,因jfuJacobi迭代法不收敛.（3分）三.（10分）定义内积（/，g）=^f（x）g（x）dx试在H]=Span{l,x}中寻求对于/（x）=Vx的最佳平方逼近元素p（x）.解：00(x)三1,(P(X)=X,X2dx（4分）(00,0())=施=1,(0,0())=卜心*'(0，0)=恥必=!(%，/)=怀必=3(0，/)=(Mdx=

4、.法方程为解得c（）4_15_11/2_c、0_2/3_1/21/3__C1__2/5_q.所求的最佳平方逼近元素为1

5、15（3分）（3分）412p(x)=1x,0

6、7x+0.0857x2+0.00833x3谋差平方和为er3=0.000194五•（10分）依据如下函数值表0i24fM19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算/（2.2）,并在假设卩⑷（x）

7、<（4分）（1分）（3分）（2分）1下，估计计算误差.解：先计算插值基函数?0（兀）=(兀-1)(兀-2)(兀-4)(0-1)(0-2)(0-4)=——兀3+—兀2——x+884‘1(兀)=(x—0)(%—2)(兀—4)(1-0)(1-2)(1-4)二丄兀3—2尢2+§兀，33，2(x)=(x—0)(兀—

8、l)(x—4)(2-0)(2-1)(2-4)人（兀）=(兀―0)(—1)(—2)(4-0)(4-1)(4-2)=—X3-丄兀2+248—X•12所求Lagrange插值多项式为3厶3⑴=工/(兀必«=5⑴+%M+2引2⑴+弘⑴i=0=-—x3+—X2-—x+1(5分)442从而/(2.2)«厶(2.2)=25.0683.据误差公式R3(x)=广丫)(x一x0)(x一%.)(%一x2)U一兀3)及假设

9、/⑷(兀)

10、<1得误差估计：

11、/⑷(§)

12、1R3(2.2)

13、=!

14、(2.2-0)(2.2—1)(2.2-2)(2.2

15、-4)

16、<—•0.9504=0.0396.六・（1（）分）用矩阵的直接三角分解法解方程组_1020_「5_0101兀231243兀3170103兰4_7解:设_1020__1'_1020_0101^211u221123w241243，31，321u33n340103丿41仃2?43LW44（4分）由矩阵乘法可求出切和©（3分）"1，41〔42仃3‘31‘32120__1020_u23m24101U33“3421w44__2_101010”22（3分）解下三角方程组「I■~y~01『23121『3170101丿4_7

17、有=5,)3=3,y3=6,y4=4。再解上三角方程组_1020~101兀2321兀36_2__^4__4得原力程组的解为（5分）七・（10分）试用Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差.2-1~6八丄、J123624_f(4)=(——+——+——+——Vl/x川灯乳6'fUxdx«—~(e+4J/1.5+丘1/2)=2.0263（