《量子力学教程》第二版答案与补充练习

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1、--第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即mT=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式8hv31dv，vdvc3hv（1）ekT1以及vc，（2）vdvvd，（3）有dvdcdv()dv()c8hc1,5hcekT1这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m处的

2、取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：-----'8hc1hc16hc5ekT1kTe1hc0kT----------1-----hc15hckTekT1hc5(1ekT)0hckT-----hc如果令x=，则上述方程为5(1ex)x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有-----mT把x以及三个物理常量代入到上式便知hcxk-----mT2.9103mK这便

3、是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动ec2），那么-----Ep2-----2e如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关

4、系式，这样，便有hp-----2-----h2eEhc2ec2E1.24106m20.5110630.71109m0.71nm在这里，利用了hc1.24106eVm以及ec20.51106eV最后，对hc2ec2E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界

5、才能显现。1．3氦原子的动能是E3kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。2解根据1kK103eV，知本题的氦原子的动能为E3kT3kK1.5103eV,22显然远远小于核c2这样，便有hc2核c2E-----3-----1.24106m23.71091.51030.37109m0.37nm这里，利用了核c24931106eV3.7109eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为hchc2c2E2kc2

6、T据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。1．4利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB91024JT1，试计算运能的量子化间隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件

7、为pdqnh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有p21kx2E22这样，便有p2(E1kx2)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据-----可解出xE1kx222Ek-----4-----这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有2(E1kx2)dx()2(E1kx2)dxnhxxx2x2x1kx2)dxx

8、1kx2)dxnh2(E2(Ex2x22(E1kx2)dxnhxx22为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；2Exsink这样，便有22Ecos2d2Esinnh2k222Ecos2Ecosdnhk2222Ekco2sdnh22这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分