连续马尔科夫过程的转移 概率及应用

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1、《随机过程》课程设计（论文）题目:连续马尔科夫过程的转移概率及应用学院：理学院专业：应用统计学班级：13090501学生姓名：张志达学生学号：13090501312015年12月29日13摘要选取1978～2009年四川农村居民人均生活消费值的32个样本，首先，通过Markov预测法预测未来生活消费水平的增长速度以10%～20%的概率较大;然后，为提高预测精度，在传统ARMA模型中加入时间变量t进行建模并预测，预测结果表明平均相对误差率为1．56%，其中2006～2009年的相对误差的绝对值均小于0．5%;最后，将Markov预测和ARMA模型对2010～2

2、012年的预测结果对比，发现两者在生活消费增长幅度上吻合，预测结果可靠。结果表明，在与目前相似的政策力度下，短期内四川省农村居民消费需求将持续增长，需进一步扩大消费市场。关键词农村居民;生活消费;Markov预测13目录一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用4二.连续时间马尔可夫链基本理论52.1定义52.2转移概率5三.马尔可夫过程研究的问题的分析7数据来源与研究方法72.计算状态转移概率矩阵93.结果与分析10四结论和展望11五.参考文献12六计算结果及程序1213一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马

3、尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。　　类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从

4、一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。　　关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1

5、951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。13二.连续时间马尔可夫链基本理论2.1定义设随机过程，状态空间,若对任意及非负整数及

6、非负整数有，则称为连续时间马尔可夫链。2.2转移概率在s时刻处于状态i，经过时间t后转移到状态j的概率定义.2齐次转移概率(与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关)转移概率矩阵命题：若τi为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，则对s,t≥0有(1)(2)τi服从指数分布定理1齐次马尔可夫过程的转移概率具有：(1);(2)(3)正则性条件定义3(1)初始概率:(2)绝对概率:(3)初始分布:13(4)绝对分布:定理2 齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质：(1) (2)(3)(4)(5)13三.马尔可夫过程研究的问题的分析农村居民的生活消费是

7、消费需求的重要组成之一，颇受学者关注。已有研究内容主要集中于农村居民生活消费的区域差异、消费行为、消费结构、消费的影响因素等几方面。在研究方法上，主要采用了回归分析法、扩展性指出系统模型、最小二乘回归法、因子分析法、习惯性偏好的生命周期模型等进行分析［1－8］;从已有研究来看，大都立足于短期的消费数据，在研究方法偏向于回归分析研究，以提高农村的消费水平、促进经济发展为目的。实际上，正确预测农村的居民消费趋势及需求，及时建立合理的消费结构，也有利于提高消费水平。四川省是一个农业大省，农村居民相对较多，对农村居民生活消费进行较精确的预测，有利于充分调动农村消费对

8、经济的拉动作用。然而对消费水平预测时，一次性预测出具