【步步高】届高三数学大一轮复习 函数的单调性与最值学案 理 新人教A版

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1、学案5 函数的单调性与最值导学目标:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值.自主梳理1.单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是______________.(2)单调性的定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],那么(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0⇔>0⇔f(x

2、)在[a,b]上是________;(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上是________.(3)单调区间:如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的__________.(4)函数y=x+(a>0)在(-∞,-),(,+∞)上是单调________;在(-,0),(0,)上是单调______________;函数y=x+(a<0)在______________上单调递增.2.最值一般地,设函数y=f(x)

3、的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M);②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的____________.自我检测1.(2011·杭州模拟)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是(  )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增2.设f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a为实数,则有(  )A.f(a)f(a)3.下列函数在

4、(0,1)上是增函数的是(  )A.y=1-2xB.y=C.y=-x2+2xD.y=54.(2011·合肥月考)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定5.当x∈[0,5]时,函数f(x)=3x2-4x+c的值域为(  )A.[c,55+c]B.[-+c,c]C.[-+c,55+c]D.[c,20+c]探究点一 函数单调性的判定及证明

5、例1 设函数f(x)=(a>b>0),求f(x)的单调区间,并说明f(x)在其单调区间上的单调性.变式迁移1 已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论.探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.变式迁移2 已知函数f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围

6、.探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.变式迁移3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(

7、x

8、)<-2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f(x)=x2-2

9、ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【答题模板】解 f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.[3分](2)当0≤a<1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.[6分](3)当12时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)

10、=-1.综上,(1)当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;(2)当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;(3)当12时,f(x)min=

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