【步步高】届高三数学大一轮复习 函数的单调性与最值学案 理 新人教A版

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1、学案5　函数的单调性与最值导学目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理1．单调性(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔>0⇔f(x

2、)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是________．(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．(4)函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－)，(，＋∞)上是单调________；在(－，0)，(0，)上是单调______________；函数y＝x＋(a<0)在______________上单调递增．2．最值一般地，设函数y＝f(x)

3、的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有(　　)A．f(a)f(a)3．下列函数在

4、(0,1)上是增函数的是(　　)A．y＝1－2xB．y＝C．y＝－x2＋2xD．y＝54．(2011·合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为(　　)A．[c,55＋c]B．[－＋c，c]C．[－＋c,55＋c]D．[c,20＋c]探究点一　函数单调性的判定及证明

5、例1　设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．变式迁移1　已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．探究点二　函数的单调性与最值例2　(2011·烟台模拟)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．变式迁移2　已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围

6、．探究点三　抽象函数的单调性例3　(2011·厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(

7、x

8、)<－2.分类讨论及数形结合思想例　(12分)求f(x)＝x2－2

9、ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分](2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分](3)当12时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)

10、＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当12时，f(x)min＝