【2020版高考】数学新设计一轮复习新课改省份专用课时跟踪检测（二十） 突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点” 含解析

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1、课时跟踪检测(二十)　突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点”1．(2019·福建三校联考)已知函数f(x)＝e－x－ax，g(x)＝ln(x＋m)＋ax＋1.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x∈(－m，＋∞)，恒有f(－x)≥g(x)成立，求实数m的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－＋1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当x＝0时，函数f(x)取得最小值，最

2、小值为f(0)＝1.(2)由(1)得ex≥x＋1恒成立．f(－x)≥g(x)⇔ex＋ax≥ln(x＋m)＋ax＋1⇔ex≥ln(x＋m)＋1.故x＋1≥ln(x＋m)＋1，即m≤ex－x在(－m，＋∞)上恒成立．当m＞0时，在(－m，＋∞)上，ex－x≥1，得0＜m≤1；当m≤0时，在(－m，＋∞)上，ex－x＞1，m≤ex－x恒成立．于是m≤1.∴实数m的取值范围为(－∞，1]．2．设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．解：(1)f(x)的定

3、义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜＋x(x＞0)．①令g(x)＝＋x，则g′(x)＝.由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2

4、)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)＜0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.3．(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)(a∈R)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x

5、2，且x1＜x2，求证：f(x2)＞－.解：(1)由已知得，f(x)＝x(lnx－x)，当x＝1时，f(x)＝－1，f′(x)＝lnx＋1－2x，当x＝1时，f′(x)＝－1，所以所求切线方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋y＝0.(2)证明：由已知条件可得f′(x)＝lnx＋1－2ax有两个不同的零点，且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反．令f′(x)＝h(x)，则h′(x)＝－2a(x＞0)，①若a≤0，则h′(x)＞0，h(x)单调递增，f′(x)不可能有两个零点；②若a＞0，令h′(x)＝0得x＝，可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，令f

6、′＞0，解得0＜a＜，此时＜，f′＝－＜0，＞，f′＝－2lna＋1－＜0，所以当0＜a＜时，函数f(x)有两个极值点x1，x2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)f(x1)f(x2)因为f′(1)＝1－2a＞0，所以0＜x1＜1＜x2，f(x)在[1，x2]上单调递增，所以f(x2)＞f(1)＝－a＞－.4．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝(x－k)ex＋k，k∈Z，e＝2.718

7、28…为自然对数的底数．当a＝1时，若∃x1∈(0，＋∞)，∀x2∈(0，＋∞)，不等式5f(x1)＋g(x2)＞0成立，求k的最大值．解：(1)f′(x)＝(x＞0)．由f′(x)＝0，得x＝e1－a.易知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴当0＜x＜e1－a时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增；当x＞e1－a时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减．∴函数f(x)的单调递增区间是(0，e1－a)，单调递减区间是(e1－a，＋∞)．(2)当a＝1时，由(1)可知f(x)≤f(e1－a)＝1，∴∃x1∈(0，＋∞)，∀x2∈(0，＋∞)，

8、5f(x1)＋g(x2)＞0成立，等价于5＋(x－k)ex＋k＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，∵