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1、实用标准文档等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点定义通项—等差中项a、b、c成等差基本概念推广前n项和等差数列当d>0(<0)时{为递增（减）数列当d=0时为常数基本性质与首末两端等距离的项之和均相等中共成等差则也成等差文案大全实用标准文档定义:通项等比中项：abc成等比数列基本概念推广前n项和等比数列与首末两端等距离的两项之积相等成等比，若成等差则成等比基本性质当或时{为递增数列当或时{为递减数列当q<0时{为摆动数列当q=1时{为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括（一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆
2、动、循环数列；数列{an}的通项公式an；数列的前n项和公式Sn；一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：文案大全实用标准文档（二）等差数列1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。即：2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。（2）等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。3．等差数列的通项公式如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。[说明]：该公式整理后是关于n的一次函数。4．等差数列的前n项和（1）．（2
3、.）[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。5．等差中项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。6．等差数列的性质（1）．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有（2）.对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：（3）．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：（4）．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和
4、，则有如下性质：①奇数项②偶数项③文案大全实用标准文档所以有；所以有（5）．若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。（三）．等比数列1．等比数列的概念[定义]：[等比中项]如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。2．等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。3.等比数列的通项公式如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。4.等比数列的前n项和5.等比数列的性质（1）等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且
5、，公比为，则有（2）.对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：文案大全实用标准文档（3）若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：三、数列的通项求法1.等差，等比数列的通项；2.3.迭加累加，迭乘累乘，，，………，………，，，注：4.数列间的关系(1)(2)（3）递推数列]①能根据递推公式写出数列的前n项②由解题思路：利用变化（ⅰ）已知（ⅱ）已知③若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；文案大全实用标准文档四、数列的求和方法（详细讲解见六）1.等差与等
6、比数列求和公式2.裂项相消法：如：an=1/n(n+1)3.错位相减法：,所以有如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函数求：。5.通项分解法：如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,a
7、q3(为什么？)4、求数列{an}的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=六、专题讲座一《数列求和题的基本思路和常用方法》一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：文案大全实用标准文档2、等比数列求和公式：3、4、5、[例1]已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。解：当x=1时，当x≠1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝【巩固练习】1：已知数列的通项公式为
