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《数学：16微积分基本定理（教案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1・6微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体•会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基木定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二、教学重难点重点通过探究变速立线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基•木定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点了解微积分某本定理的含义三、教学过程1、复习.：定积分的概念及用定义计算2、
2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的…般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数Z间的联系设一物体沿:K线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)>,另一方面，这段路程还可以通过位置函数S(t)在［7；,妇］上的增量S(7；)-5(7；)来表达,而S'(r)=v(0o对于一般函数/(x),设Fx)=/(x),是否也有若上式成立，我们就找到了用/(兀)的原函数(即满足Fx)=f(x))的数值差
3、F(b)—F(a)来计算/(x)在［⑦切上的定积分的方法。注：1：定理如果函数F(x)是也,切上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则ehIf(x)dx=F(b)-F(a)Ja证明：因为0(x)=£/(r)6//与F(X)都是于(兀)的原函数，故F(x)-(x)=F(x)-F(a)=fJa令x=b,冇Jf{x)dx=F(Z?)-F(a)令x=a得F(a)-①(a)=C,且①(a)=jf(t)dt=0此处并不
4、要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用F(x)表示F(b)-F(a),即ch.IfMdx=F(x)l；=F(b)-F(a)Ju该式称Z为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式・。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带來了深•远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的
5、成果。f31(2)I(2x—)dxo1解：(1)因为(lnx)=—,x例1.计算下列定积分：(1)「-dx；所以(2))因为(x2)'=2x,(-)'=—XX所以j(2x-^7)i&=£2xdx-=Ffl?=(9-l)+(—-l)=—。f—tl¥=lnx
6、^=ln2-lnl=ln2ex33练习：计算^dx解：由于丄/是F的一个原函数，所以根据牛顿一莱布尼兹公式有3力二丄疋
7、1=1.13_1.03=1Jo3333例2.计算下列定积分：£sinxdx,^sinMv,J。sinxdx。由计算结果矗能发现什么结论？试利用曲边
8、梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(一cosx)=sinx,所以sinxdx-(-cos兀)=(-cos兀)一(-cos0)=2sinxdx=(-cosx)
9、；”=(-cos2兀)一(-cos兀)=一2,£sinxdx-(-cosx)=(-cos2兀)-(-cos0)=0.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：(1)当对应的曲边梯形位于.x轴上方时(图1.6-3),定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1.6-3(2.)(2)当对应的•曲边梯形位于x轴下方时(图1•6—4),定积分的值取负值，
10、口等于曲边梯形的面积的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0(图1.6—5),口.等于位于x轴上方的1111边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.例3.汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度0=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？32x10003600解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t.=0时，汽车速度V。二32公里/小时米/秒-8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)=v0-。匸8.
11、88・1.8t当汽车停QQQ住时，速度v(t)=0,故从v(t)=8.88-l&=0解得t=-4.93秒1.8于是在这段吋间内，汽车所走过的距离是「4.93Jo“.93v(t)dt-£4.93(8.88一1.&)df=(8.88-1.8x-t2)-21.90米,即在刹车后，汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内
