自考04184线性代数(经管类)讲义5

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1、第五章特征值与特征向量在本章中，我们将应用在第四章中建立的线性方程组的解的理论和求解方法，给出方阵的特征值和特征向量求法，研讨方阵化成对角矩阵的问题，并具体应用到实对称矩阵的对角化问题上。　　　　5.1　特征值与特征向量　　　　5.1.1　特征值与特征向量的定义　　　　下面给出方阵的特征值和特征向量的定义定义5.1.1设A（aij）为n阶实方阵。如果存在某个数λ和某个n维非零列向量p满足Ap=λp，则称λ是A的一个特征值，称p是A的属于这个特征值λ的个特征向量　　例1.验算是否是的特征向量。　　[答疑编号：

2、10050101针对该题提问]　　解:　　①　　②　　∴p是A的特征向量，且这时特征值λ=5　　　　为了给出具体求特征值和特征向量的方法，我们把Ap=λp（Ap=λEnp）改写成（λEn-A）=0。再把λ看成待定参数，那么p就是齐次线性方程组（λEn-A）x=0的任意一个非零解。显然，它有非零解当且仅当它的系数行列式为零：

3、λEn-A

4、=0。定义5.1.2带参数的λ的n阶方阵λEn－A称为A的特征方阵，它的行列式

5、λEn－A

6、称为A的特征多项式，称

7、λEn－A

8、＝0为A的特征方程。　　根据特征方程求特征值和

9、特征向量时1、解特征方程

10、λEn－A

11、＝0，得出特征向量；2、把特征向量代入矩阵，再对矩阵作初等变换，列齐次线性方程，取其解。　　5.1.2　关于特征值和特征向量的若干结论命题1三角矩阵的特征值就是它的全体对角元命题2一个向量p不可能是属于同一个方阵A的不同特征值的特征向量。命题3A的同一特征值λ的不同特征向量p1，p2的线性组合仍是A属于λ的特征向量。定理5.1.1n阶方阵A和它的转置矩阵AT必有相同的特征值。注意:A和AT未必有相同的特征向量,即当Ap=λp时未必有ATp=λp,　　定理5.1.2　　（

12、1）若λ是A的特征值，则λm点Am的特征值，而且Am与A有同一特征向量。　　（2）若λ是A的特征值且λ≠0，则λ-1是A-1的特征值而且A-1与A有相同的特征向量。定理:5.1.3设A为n阶方阵，f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为m次多项式，f（A）=amAm+am-1Am-1+…a1A+a0En为对应的A的方阵多项式。如果Ap=λp，则必有f（A）p=f（λ）p,这说明f（λ）必是f（A）的特征值，特别，当f（A）=0时，必有f（λ）=0，即当f（A）=0时A的特征值必然是对应的m次

13、多项式f（x）的根。　　5.1.3　关于求特征值和特征向量的一般方法定理5.1.4设是n阶方阵的全体特征值，则必有　　5.2　方阵的相似变换定义5.2.1设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A和B是相似的，记为A～B。当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。　　同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。　　事实上，有矩阵等式　　（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A

14、相似是一致的。　　事实上，有　　（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。　　事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出　　C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。此定理的逆定理并不成，具有相同特征多项式的两个方阵未必相似推论，若n阶方阵A相似于对角矩阵或三角矩阵：或则其中的n个对角无就是A的n个特征值。定义5.2.2对于方阵A，若有（对角形矩阵）则说对角形矩

15、阵∧是方阵的相似标准形。定理5.2.2三阶方阵A与对角阵∧相似A有三个线性无关的特征向量。定理5.2.4设λ1，λ2，…，λk是n阶方阵A的两两不同的特征值,p1是属于λi，1≤i≤k的特征向量，则p1，p2,…pk是线性无关组。根据定理5.2.2和定理5.2.4，可以得到以下两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似。　由本题知，若p-1AP=∧则有A=P∧P

16、-1　　　小结　　求相似更换矩阵P，使P-1AP=∧的步骤。第一步，解特征方程，求特征值λ1，λ2，λ3第二步，对应于每个特征值λi（i=1,2,3）解齐次线性方程组的基础解pi就是特征向量（i=1,2,3）注意k垂特征应用有k个基础解向量。第三步，令相似变换矩阵p=（p1,p2,p3）有　　5.3　向量内积和正交矩阵　　为了引进正交矩阵这一类重要的方阵。我们先介绍两个向量内积的概念。　　5.3.1向量内积定义