2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用5第4讲导数的综合应用(第2课时)利用导数探究函数零点问题新题培优练文(含解析)新人教A版

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1、第2课时利用导数探究函数零点问题[基础题组练]1.已知函数f(x)=x2-2x+1,g(x)=xf(x)+bx2+a,若g′(x)=0在区间上有解,则实数b的取值范围为(  )A.(-1,2)      B.(1,2)C.[1,2)D.(0,2-]解析:选D.易知g(x)=x3+(b-2)x2+x+a,则g′(x)=3x2+2(b-2)x+1,因为g′(x)=0在区间上有解,所以Δ=4(b-2)2-12≥0,即b≥2+或b≤2-,同时2(b-2)=-∈(-4,-2],所以0<b≤2-,从而实数b的取值范围为(0,2-

2、].2.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(  )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)解析:选B.f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0;x∈时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f=>0,则f(x)的大致图象如图(1)所示:不符合题意,排除A,C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈时

3、,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,x∈(0,+∞)时,f′-7-(x)<0,注意f(0)=1,f=-,则f(x)的大致图象如图(2)所示.不符合题意,排除D.故选B.3.设函数f(x)=x3-bx+c(b,c∈R).(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+1,求b,c的值;(2)若b=1,c=,求证:f(x)在区间(1,2)内存在唯一零点.解:(1)由题意得f′(x)=x2-b,所以f′(1)=1-b=2,得b=-1.又因为f(1)=2+1=3,所以-b+c=3,得c=.故b=-1,c

4、=.(2)证明:若b=1,c=,则f(x)=x3-x+.因为f(1)f(2)=-×1<0,所以f(x)在区间(1,2)内存在零点.又当x∈(1,2)时,f′(x)=x2-1>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增.所以f(x)在区间(1,2)内存在唯一零点.4.已知函数f(x)=a+lnx(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)试判断f(x)的零点个数.解:(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),-7-f′(x)=()′lnx+·=,令f′(x)>0,解得x>e-2,令f′(x)<0,解得0

5、f(x)在(0,e-2)上单调递减,在(e-2,+∞)上单调递增.(2)由(1)得f(x)min=f(e-2)=a-,显然a>时,f(x)>0,无零点,a=时,f(x)=0,有1个零点,a<时,f(x)<0,有2个零点.[综合题组练]1.(2019·贵阳摸底考试)已知函数f(x)=kx-lnx(k>0).(1)若k=1,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;解:(1)k=1,f(x)=x-lnx,定义域为(0,+∞),则f′(x)=1-,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得

6、0<x<1,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)法一:由题意知方程kx-lnx=0仅有一个实根,由kx-lnx=0得k=(x>0),令g(x)=(x>0),则g′(x)=,当x=e时,g′(x)=0;当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=.当x→+∞时,g(x)→0.又k>0,所以要使f(x)仅有一个零点,则k=.-7-法二:f(x)=kx-lnx,f′(x)=k-=

7、(x>0,k>0).当x=时,f′(x)=0;当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=1-ln,因为f(x)有且只有一个零点,所以1-ln=0,即k=.2.已知函数f(x)=alnx+-bx+1.(1)当a=0时,函数f(x)的极小值为5,求负数b的值;(2)若b=-1,F(x)=f(x)-,且当a≥-4时,不等式F(x)≥2在区间[1,4]上有解,求实数a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=-

8、bx+1(b<0),令f′(x)=--b=0,得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:xf′(x)-0+f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f=5,即++1=5,解得b=-4.(2)由题意知,当a≥-4时,F(x)在[1,4]上的最大值M≥2.当b=-1时,F(x)=f(x)-=x-+alnx+1,则

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