2020版高考数学大一轮复习第六章数列5第5讲数列的综合应用新题培优练文(含解析)新人教A版

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1、第5讲数列的综合应用[基础题组练]1.已知数列{an}是等差数列,若a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列,则数列{an}的公差d等于(  )A.1B.-1C.2D.-2解析:选B.因为a2+2,a4+4,a6+6构成等比数列,所以(a4+4)2=(a2+2)(a6+6),化简得d2+2d+1=0,所以d=-1.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )A.n(2n+3)B.n(n+4)C.2n(2n+3)D.2n(n+4)解析:选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(

2、4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).3.(2019·河南郑州一中入学测试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S5=5a4-10,则数列{an}的公差为________.解析:依题意得S5==5a3=5a4-10,即有a4-a3=2,所以等差数列{an}的公差为2.答案:24.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于________.解析:每天植树的棵数构成以2为首项,2为

3、公比的等比数列,其前n项和Sn===2n+1-2.由2n+1-2≥100,得2n+1≥102,由于26=64,27=128,则n+1≥7,即n≥6.答案:65.(2019·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3.(1)若a3+b3=7,求{bn}的通项公式;(2)若T3=13,求Sn.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,-6-则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=3,得d+q=4,①由a3+b3=7,得2d+q2=8,②联立①②,解得q=2或q=0(舍

4、去),因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)因为T3=b1(1+q+q2),所以1+q+q2=13,解得q=3或q=-4,由a2+b2=3得d=4-q,所以d=1或d=8.由Sn=na1+n(n-1)d,得Sn=n2-n或Sn=4n2-5n.6.(2019·辽宁五校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,bn+1=(n-λ),n∈N*,b1=-λ.(1)求证:数列是等比数列;(2)若数列{bn}是递增数列,求实数λ的取值范围.解:(1)证明:因为数列{an}满足an+1=,所以=+1,即+1=2,又a1=1,所以+1=2,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数

5、列.(2)由(1)可得+1=2n,所以bn=(n-1-λ)=(n-1-λ)·2n-1(n≥2),因为b1=-λ符合上式,所以bn=(n-1-λ)·2n-1(n∈N*).因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn,即(n-λ)·2n>(n-1-λ)·2n-1,即λ

6、a6

7、=

8、a11

9、,且公差d>0,则其前n项和取最小值时n的值为(  )A.6B.7C.8D.9解析:选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列,又

10、a6

11、=

12、a11

13、,所以

14、-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,则a8=-<0,a9=>0,所以前8项和为前n项和的最小值,故选C.2.数列{an}的通项an=n,其前n项和为Sn,则S40为(  )A.10B.15C.20D.25解析:选C.由题意得,an=n=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.3.(应用型)(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个

15、问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(  )A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c依次成公

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