2020版高考数学大一轮复习第六章数列5第5讲数列的综合应用新题培优练文（含解析）新人教A版

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1、第5讲数列的综合应用[基础题组练]1．已知数列{an}是等差数列，若a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，则数列{an}的公差d等于(　　)A．1B．－1C．2D．－2解析：选B.因为a2＋2，a4＋4，a6＋6构成等比数列，所以(a4＋4)2＝(a2＋2)(a6＋6)，化简得d2＋2d＋1＝0，所以d＝－1.2．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(

2、4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．3．(2019·河南郑州一中入学测试)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S5＝5a4－10，则数列{an}的公差为________．解析：依题意得S5＝＝5a3＝5a4－10，即有a4－a3＝2，所以等差数列{an}的公差为2.答案：24．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为

3、公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64，27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：65．(2019·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，-6-则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍

4、去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)，所以1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.6．(2019·辽宁五校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，bn＋1＝(n－λ)，n∈N*，b1＝－λ.(1)求证：数列是等比数列；(2)若数列{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为数列{an}满足an＋1＝，所以＝＋1，即＋1＝2，又a1＝1，所以＋1＝2，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数

5、列．(2)由(1)可得＋1＝2n，所以bn＝(n－1－λ)＝(n－1－λ)·2n－1(n≥2)，因为b1＝－λ符合上式，所以bn＝(n－1－λ)·2n－1(n∈N*)．因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1>bn，即(n－λ)·2n>(n－1－λ)·2n－1，即λ

6、a6

7、＝

8、a11

9、，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)A．6B．7C．8D．9解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又

10、a6

11、＝

12、a11

13、，所以

14、－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.2．数列{an}的通项an＝n，其前n项和为Sn，则S40为(　　)A．10B．15C．20D．25解析：选C.由题意得，an＝n＝ncos，则a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，…，于是a2n－1＝0，a2n＝(－1)n·2n，则S40＝(a1＋a3＋…＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a40)＝－2＋4－…＋40＝20.3．(应用型)(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个

15、问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝C．a，b，c依次成公