混料试验设计

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1、王中来：混料试验设计混料试验设计TheDesignofMixtureExperiments主要参考文献：1、栾军.现代试验设计优化方法.上海：上海交通大学出版社，19952、茆诗松等.回归分析及其试验设计.上海：华东师范大学出版社,1981一、混料问题与混料试验(栾军,1995；茆诗松等,1981)日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一类的问题，即所谓混料问题。这里所说的混料是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的物品。由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可看着混料问题

2、。混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考察各种混料成分与试验指标之间的关系。例如，人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行的试验就是混料试验。应该指出，混料试验中的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的不变成分不应作为混料成分。混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化，各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。也就是说，各种成分不能完全自由地变化

3、，受到一定条件的约束。设：y为试验指标，x是第i种成分的含量，则混料问题的约束条件，即混料条件为：31王中来：混料试验设计（1）其中xi称为混料成分或混料分量，即混料试验中的试验因素。混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各种线性或非线性回归方程的技术方法。它具有试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到最佳混料条件等优点。混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条件的约束而引起信息矩阵的退化。混料试验设计常采用Scheffé多项式回归模型。例如，一般的三元二次回归方程为

4、(2)而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为(3)比较式（2）和式（3）可知，Scheffé多项式没有常数项和平方项。[这是因为，将约束条件代入式（2），即可推导得到式（3）。]通常，混料试验设计的p分量d次多项式回归方程，其Scheffé多项式（或称为规范多项式）为一次式（d=1）：(4)二次式（d=2）：(5)三次式（d=3）：31王中来：混料试验设计(6)式中为三次项的回归系数。由此看来，混料试验设计的(p,d)Scheffé多项式回归方程中，待估计的回归系数的个数，比一般的p因素d次多项式回归方程要少。例如，对于混料试验设计（p,d）的

5、回归方程式（5），无常数项和二次项。于是，减少了p+1个回归系数，所以至少可以少做p+1次试验。混料试验设计由H.Scheffé于1958年首先提出，至今已有40多年。由于这种试验设计方法与工农业生产及科学试验有密切的关系，所以无论在理论研究中，还是实际应用中都有了很大的发展。在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配方和生产制造都广泛地应用混料试验设计方法。二、单（纯）形格子设计（茆诗松等，1981；栾军，1995）1.引言（1）单（纯）形在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheffé于1958年提

6、出的。它是混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法都要用到单纯形格子设计。在混料问题中，各分量xi(i=1,2,…,p)的变化范围受混料条件式（1）的制约。在几何上，称为p维平面，而（x1,x2,…,xp）为p维平面上点的坐标。在p维平面上满足的区域构成一个图形称为单形（或31王中来：混料试验设计单纯形）。单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标xi=1,而其余的p-1个坐标xj=0(j¹i),则这种点称为单形的顶点。因此，在p因子混料试验中，单形的顶点有p个。例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、（0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的

7、图形为一等边三角形，如图1（a）所示。（2）单形上点的坐标下面，以p=3为例讨论单形上点的坐标问题。对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个等边三角形，其三个顶点分别为A（1，0，0）、B（0，1，0）和C（0，0，1）。x1设P（x1、x2、x3）为这单形的内点，定义x1表示P点到边BC的距离，x2为P点到边AC的距离，x3为P点到边AB的距离。为简单起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形，如图1（b）所示。A(1,0,0)A(1,0,0)x3x2P(x1,x2,x3)ox1x3x2C(0,0,1)B(0,1,0)B(0,1

8、,0)C(0,0,1)(a)(b)图1p=3时的单形（x1+x2+x3=正三角形的高=1）取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可