开孔板问题

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1、开孔板的问题（应力集中的问题）一.引言应力集中即Stressconcentration，是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。在弹性力学中，这是一类问题，应力在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重新分配，所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算

2、出的理论峰值应力。反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k，它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。二．产生应力集中的原因构件中产生应力集中的原因主要有：(1)截面的急剧变化。如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等。(2)受集中力作用。如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等。(3)材料本身的不连续性。如材料中的夹杂、气孔等。(4)构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹。(5)构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中。(6)构件

3、在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。三．弹性力学中的应力集中1.工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。弹性力学研究‘小孔口问题’，应符合(1)孔口尺寸＜＜弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内。(2)孔边距边界较远（＞1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。当弹性体开孔时,在小孔口附近,将发生应力集中现象。2.孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。特点：.（1）.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）（2）.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。（3）.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。3、1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q，图(a)。

4、将外边界改造成为圆边界，作则有内边界条件为利用圆环的轴对称解答，取且R＞＞r，则得应力解答：最大应力发生在孔边所以应力集中系数为2。2、带小圆孔的矩形板.x,y向分别受拉压力,图(b)。3、作圆，求出外边界条件为内边界条件为应用半逆解法求解(非轴对称问题):由边界条件,假设由关系,假设,所以设代入相容方程除去，为欧拉方程，得解前面给出的边界条件为：(b)(c)校核边界条件(b),(c),求出A,B,C,D，得应力解答：在孔边，最大、最小应力为，应力集中系数为3、带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。(1)叠加原理(2)(2)应用叠加原理(此时令)，得应力解答:讨论：(

5、1)孔边应力最大应力3q，最小应力-q(2)y轴上应力，=远处=可见,距孔边1.5D处,由于孔口引起的应力扰动<5%。3)x轴上应力=远处=同样,距孔边1.5D处,由于孔口引起的应力扰动<5%。4、小孔口的应力集中现象(1)集中性--孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近应力>>无孔时的应力。(2)局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径(D)范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。(3)凹角的角点应力高度集中,曲率半径愈小,应力愈大。5、一般小孔口问题的分析：(1)假设无孔，求出结构在孔心处的2)求出孔心处主应力。(3)在远处的均匀应力场的作用下,求出孔口附

6、近的应力6、其他小孔口问题的解答应用弹性力学问题的复变函数解法，已经解出许多各种形状的小孔口问题的解答。这是一种求解弹性力学解答的解析方法，它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别表示弹性力学的物理量，将弹性力学的相容方程(重调和方程)也化为复变函数方程，并结合边界条件进行求解。四.降低应力集中的方法工程中常用以下几种方法来降低应力集中程度：1.修改应力集中因素的形状(1)用圆角代替尖角。将尖角改为圆角，能有效地缓和应力集中程度。一般来讲，圆角的曲率半径在可能的范围内愈大愈好。(2)采用流线形或抛物线形的表面过渡。有时圆角并不对应于最小的应力集中，如果采用流线形变化

7、的截面，效果会更好。为了缩短流线形表面的变化长度，可以采用抛物线形表面过渡。(3)用椭圆孔代替圆孔。在保证构件正常工作的情况下，如果将圆孔改为椭圆孔，往往能提高构件的强度。例如，将图2所示的受拉平板中的圆孔改为椭圆孔，如图6所示，则椭圆孔边A点的应力集中系数为(5)当时，由(5)式可得，比圆孔（）时的降低了。由于椭圆孔难以加工，因此，工程上常简单地用两个圆弧来代替椭圆孔。