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时间:2020-01-13
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1、5实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题: (1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程; ;; (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。 (3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度; ②船在静
2、水中的速度-水速=船的逆水速度; ③顺水速度-逆水速度=2×水速。 注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量. 3.商品销售利润问题: (1)利润=售价-成本(进价);(2);(3)利润=成本(进价)×利润率;(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率; 注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十
3、分之八即五分之四或者百分之八十) 4.储蓄问题: (1)基本概念 ①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和:本金与利息的和叫做本息和。④期数:存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税:利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息=本金×利率×期数 ②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数) ③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。 ④税后利息=利息×(1-利息税率)⑤年利率=
4、月利率×12⑥。 注意:免税利息=利息 5.配套问题: 解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 6.增长率问题: 解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量; 原量×(1-减少率)=减少后的量. 7.和差倍分问题: 解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量. 8.数字问题: 解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶
5、数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字 9.浓度问题:溶液质量×浓度=溶质质量. 10.几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11.年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的 12.优化方案问题: 在解决问题时,常常需合理安排。需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。 注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种
6、方案得出最佳方案。知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤: 1.审题:弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:可直接设元,也可间接设元; 3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案. 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题 1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.5相遇后,拖拉机继续前进,汽车在
7、相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。 【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米? 【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。 类型二:列二元一次方
8、程组解决——工程问题 2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?(2)已知甲
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