圆、相似三角形、二次函数经典综合题

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1、中考数学《圆》综合复习【1】已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF；(2)CE2=BD·EF.【2】如图，△ABC内接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长.【3】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留

2、根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，EADGBFCOM第9题图．（1）求证：．（2）求的直径的长．【5】如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.【6】【7】如图，已

3、知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.O1O2ABC第24题图OBDECFxyA【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB=

4、30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．【9】如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的横坐标，是关于的方程的两根．（1）求、的值；（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；yx图（3）NBACODMEF(0，2)l（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、．则的是否为定值？若是，求出该定值；若

5、不是，请说明理由．【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。CD是⊙O’的切线．AD⊥CD于点D，tan∠CAD=，抛物线过A、B、C三点。（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上．并说明理由：（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．【1】证明：(1)∵EF∥BC，∴∠BCE=∠CEF.又∵∠BAE=

6、∠BCE，∴∠BAE=∠CEF.(2)证法一：∵∠BAD＝∠CAD，∠BAE＝∠CEF，∴∠CAD＝∠CEF.又∵∠ACD＝∠F，∴△ADC∽△ECF.∴.∴.①又∵∠BAD＝∠EAC，∠B＝∠AEC，∴△ABD∽△AEC，∴.②由①②得，∴CE2＝BD·EF.【2】解：连结BF.∵AE平分∠BAC的外角，∴∠DAE=∠CAE.∵∠DAE=∠BAF，∴∠CAE=∠BAF.∵四边形ACBF是圆内接四边形，∴∠ACE=∠F.∴△ACE∽△AFB.∴.∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x，则AF=14－x，则有，整理，得

7、x2-14x+40=0.解得x1=4,x2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4.【3】【4】（1）连接是圆直径，，即，．．在中，．2分（2）是斜边的中点，，，又由（1）知，．又，与相似又，，，设，，，直径．【5】(1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又∵点C在⊙O上，OC

8、为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得.即，