北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学（理）试题（含答案）

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1、北京市西城区高三统一测试数学（理科）2019.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集，集合，，则集合（A）（B）（C）（D）2．若复数，则在复平面内对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限[]输出开始否结束是3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（A）4（B）5（C）7（D）94．下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（A）（B）（C）（D）5.设均为正数，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B

2、）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的.若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为（A），xOyW（B），（C），（D），7.团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的

3、人数之差为（A）（B）（C）（D）8.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在等比数列中，，，则数列的前n项和____．10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．11．函数的最小正周期____；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．侧(左)视

4、图正(主)视图俯视图221113.能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，.例如，图中上档的数字和.若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△中，已知，其中.（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若，，，求．16．

5、（本小题满分14分）DABCEF如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）乙1207221012366a862101244甲为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.

6、（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．19．

7、（本小题满分14分）已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（Ⅰ）当，且直线轴时，求四边形的面积；（Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.[]定义为第s行与第t行的积.若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.[]（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.北京市西城区高三统一

8、测试数学（理科）参考答案及评分标准2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．D3．D4．C5．C6．A7．B8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．10．11．；12．13．答案不唯一，如，14．注：第11题第一问3分，第二问2分.[三、解答题：本大题共6小题，共80